Bài tập trắc nghiệm Vật lý 12 về Động năng cực đại của con lắc lò xo trong quá trình dao động

Động năng cực đại của con lắc 1:  

\({{\rm{W}}_{d1\max }} = {{\rm{W}}_1} = \frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{2} = 0,12\left( H \right)\)

Trong quá trình dao động chênh lệch độ cao lớn nhất là A, đây chính là khoảng cách cực đại theo phương thẳng đứng của hai vật trong quá trình dao động.

Mà khoảng cách cực đại tính theo công thức  

\(\begin{array}{l} B = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \\ \Rightarrow {A^2} = {A^2} + 3{A^2} - 2{A^2}\sqrt 3 \cos \Delta \varphi \\ \Rightarrow \Delta \varphi = \frac{\pi }{6} \end{array}\)

Có thể chọn:  \(\left\{ \begin{array}{l} {v_1} = \omega A\cos \omega t\\ {v_2} = \omega A\sqrt 3 \cos \left( {\omega t \pm \frac{\pi }{6}} \right) \end{array} \right.\)

 và khi động năng con lắc 1 cực đại chọn t = 0.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {v_1} = \omega A\cos \omega .0 = \omega A\\ {v_2} = \omega A\sqrt 3 \cos \left( {\omega .0 \pm \frac{\pi }{6}} \right) = 1,5\omega A \end{array} \right.\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_{d2}} = \frac{{mv_2^2}}{2} = 1,{5^2}\frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{2} = 0,27\left( J \right) \end{array}\)

 Chọn A.

Hướng dẫn

Cách 1:

* Mọi t thì

\(\begin{array}{l} x = {x_1} + {x_2}\\ \Leftrightarrow \left( {2,5\sqrt 3 - 0,5{A_2}} \right)\cos 10t + \left( {{A_1} - 0,5\sqrt 3 {A_2} - 2,5} \right)\sin 10t = 0;\forall t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {A_2} = 5\sqrt 3 \\ {A_1} = 10 \end{array} \right. \end{array}\)

 Chọn D.

Từ đồ thị: T/4 = 0,5 s → T = 2 s → ω = 2π/T = π (rad/s).

Tại thời điểm t = 0,5 s, đồ thị x12 ở vị trí nửa biên âm đi xuống và đồ thị x23 ở vị trí biên âm nên:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_{12}} = 8\cos \left( {\pi \left( {t - 0,5} \right) + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 8\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\\ {x_{23}} = 4\cos \left( {\pi \left( {t - 0,5} \right) + \pi } \right) = 4\cos \left( {\pi t = \frac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right) \end{array} \right.\\ {x_1} - {x_3} = {x_{12}} - {x_{23}} = 8\angle \frac{\pi }{6} - 4\angle \frac{\pi }{2} = 4\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \cos \pi t\left( {cm} \right) \end{array}\)

Mặt khác:  

\(\begin{array}{l} {x_1} - {x_3} = 1,5a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) - a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1} + \pi } \right)\\ = 2,5a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\ \Rightarrow {\varphi _1} = 0,{i_3} = \pi \\ 2,5a = 4\sqrt 3 \Rightarrow a = 1,6\sqrt 3 \left( {cm} \right) \end{array}\)

Tương tự:  

\(\begin{array}{l} {x_{31}} = {x_3} + {x_1} = a\cos \left( {\pi t + \pi } \right) + 1,5a\cos \pi t\\ = 0,8\sqrt 3 \cos \pi t\\ \Rightarrow {x_2} = \frac{{{x_{12}} + {x_{23}} - {x_{31}}}}{2} = \frac{{8\angle \frac{\pi }{6} + 4\angle \frac{\pi }{2} - 0,8\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {x_2}\frac{{4\sqrt {37} }}{5}\\ \Rightarrow {A_2} = 4,866\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn C.

Chu kỳ (ứng với 12 ô):   \(T = 12s \Rightarrow \omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{\pi }{6}\left( {rad/s} \right)\)

* Đường x1 cắt trục hoành sớm hơn đường x2 cắt trục hoành 1 ô  \( = \frac{T}{{12}} \sim \frac{{2\pi }}{{12}}\)

 ⇒ x1 sớm pha hơn x2 là π/6.

* Tại điểm cắt:  

\(\begin{array}{l} - 4\sqrt 3 = - \frac{{{A_1}\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{{A_2}}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {A_1} = 8\left( {cm} \right)\\ {A_2} = 8\sqrt 3 \left( {cm} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow a = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \frac{\pi }{6}} = 8\sqrt 7 \left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {v_{\max }} = 11,08\left( {cm/s} \right) \end{array}\)

 Chọn C.

Vì x1 vuông pha với x2 nên khi x2 = 0 thì \({x_1} = \pm {A_1}\) .

Tại thời điểm t2 thì x2 = 0

Nên  \({x_1} = - {A_1} = - 20cm \Rightarrow {A_1} = 20cm.\)

Cũng vì x1 vuông pha với x2 nên:

\(\begin{array}{l} {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{A_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{A_2}}}} \right)^2} = 1\\ t = {t_1} \Rightarrow {\left( { - \frac{{10\sqrt 3 }}{{20}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{15}}{{{A_2}}}} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow {A_2} = 30\left( {cm} \right) \end{array}\)

Vì x3 ngược pha với x1 và tại thời điểm t1 có \({x_1} = - 10\sqrt 3 cm = 0,5{A_1}\sqrt 3 \)  thì tại thời điểm đó :

\(\begin{array}{l} {x_3} = + 0,5{A_3}\sqrt 3 \,\,hay\,\,0,5{A_3}\sqrt 3 = 30\sqrt 3 cm\\ \Rightarrow {A_3} = 60\left( {cm} \right) \end{array}\)

Tổng hợp dao động điều hòa bằng phương pháp số phức:

\(\begin{array}{l} x = {A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2} + {A_3}\angle {\varphi _3}\\ = 20\angle \frac{\pi }{2} + 30 + 60\angle - \frac{\pi }{2}\\ = 50\angle - 0,93\\ \Rightarrow x = 50\cos \left( {\omega t - 0,93} \right)\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow A = 50\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn D.

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta x = {x_1} - {x_2} = 10\cos \left( {4\pi t - 0,404} \right)\\ \Delta v = {v_1} - {v_2} = 40\pi \sin \end{array} \right.\\ {\left| {\Delta x} \right|_{\max }} \to \Delta v = 0 \end{array}\)

 Chọn D.

* Chu kì T = 3 s. Khoảng thời gian từ 2,5s đến 3,0s là 0,5s = T/6 → Tọa độ khi gặp nhau ở thời điểm t = 3s là 0,5A /3 . Lúc này một đồ thị đi theo chiều dương một theo chiều âm nên:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right)\\ {x_2} = 4\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{6}} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \Delta x = {x_1} - {x_2} = 4\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Rightarrow \Delta {x_{\max }} = 4\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn C.

* Tính  

\(\begin{array}{l} \Delta x = {x_2} - {x_1} = 20\cos \left( {2\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\\ \Rightarrow 2\pi t + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + n\pi \\ \Rightarrow t = - \frac{1}{{12}} + n.0,5\left( {t > 0 \Rightarrow n = 1,2....} \right)\\ \Rightarrow {t_{2016}} = - \frac{1}{{12}} + 2016.0,5 = 1007,92\left( s \right) \end{array}\)

 Chọn B.

* Tính  

\(\begin{array}{l} \Delta x = {x_2} - {x_1} = 4\sqrt 2 \cos \left( {4\pi t + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = 0\\ \Rightarrow 4\pi t + \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{2} + n\pi \\ \Rightarrow t = \frac{1}{{45}} + n.0,25\left( {t > 0 \Rightarrow n = 0,1,2...} \right)\\ \Rightarrow {t_{2016}} = \frac{1}{{48}} + 2015.0,25 = \frac{{24181}}{{48}}\left( s \right) \end{array}\)

 Chọn B.

* Khoảng cách đại số:  

\(\begin{array}{l} \Delta x = {x_2} - {x_1} = 12 + 4\sqrt 2 \cos \left( {4\pi t - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {\left| {\Delta x} \right|_{\min }} = 12 - 4\sqrt 2 = 6,34\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn B.

\(\begin{array}{l} d = \sqrt {x_1^2 + x_2^2} \\ = \sqrt {16 + 8\cos \left( {20\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) + 8\cos \left( {20\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\ = \sqrt {16 + 8\sqrt 3 \cos \left( {20\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)} \le 5,46 \end{array}\)

 Chọn D.

* Khoảng cách:  

\(\begin{array}{l} d = \sqrt {x_1^2 + x_2^2} \\ = \sqrt {10,5 + 6cos\left( {\frac{{2\pi t}}{9} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4,5\cos \left( {\frac{{2pt}}{9} - \frac{\pi }{3}} \right)} \\ = \sqrt {10,5 + 1,5\cos \left( {\frac{{2\pi t}}{9} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} = \max \\ \Leftrightarrow \frac{{2\pi t}}{9} + \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \Rightarrow t = - 3 + 9k\left( {t > 0 \Rightarrow k = 1,2,...} \right)\\ \Rightarrow {t_{2017}} = - 3 + 9.2017 = 18150\left( s \right) \end{array}\)

* Mọi thời điểm thì x = x1 + x2.

 *Khi t = t2 thì x2 = x – x1 = 0 và \({x_2} = {A_2}\sqrt 3 /2\)  nên véc tơ A1 và A2 có vị trí như hình b.

*Tính được  \(\alpha = \pi /6;\Delta \varphi = 2\pi /3.\)

* Khi t = t1 thì x2 = x – x 1 = − 1,5 = −A2/2 nên véc tơ A1 và A2 có vị trí như hình a, tính được :

\(\begin{array}{l} 2 = {A_1}\cos \pi /3\\ \Rightarrow {A_1} = 4\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } = 3,6\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn D.

Ta luôn có x = x1 + x2 .

Khi x2 = 0 thì  \(x = {x_1} = - 5\sqrt 3 cm = - {A_1}\sqrt 3 /2\)

Nghĩa là lúc này véc tơ \(\overrightarrow {{A_2}} \) hợp với trục hoành một góc π/2 và véc tơ \(\overrightarrow {{A_1}} \)  hợp với chiều dương của trục hoành một góc 5π/6.

Vậy x1 sớm pha hơn x2 lả π3.         

Khi x1 = −5cm = −A1/2 véc tơ \(\overrightarrow {{A_1}} \) hợp với chiều dương của trục hoành một góc 2π/2 và x2 = x – x1 = −2 – (−5) = 3 cm>0. Lúc này \(\overrightarrow {{A_2}} \)  hợp với chiều dương của trục hoành một góc π/3 nên x2 =A2cosπ/3  \( \Rightarrow 3 = {A_2}\cos \pi /3 \Rightarrow {A_2} = 6\left( {cm} \right)\)

Biên độ dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l} A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \\ = \sqrt {{{10}^2} + {6^2} + 2.10.6\cos \frac{\pi }{3}} = 14\left( {cm} \right) \end{array}\)

 Chọn A

Có thể chọn:  

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {v_1} = \omega {A_1}\cos \omega t\\ {v_2} = \omega {A_2}\cos \left( {\omega t \pm \frac{\pi }{3}} \right) \end{array} \right.\\ t = 0:\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {v_1} = \omega {A_1} \Rightarrow {W_{d1\max }} = \frac{1}{2}m\omega A_1^2 = W\\ {v_2} = \frac{1}{2}\omega A \Rightarrow {W_{d1}} = \frac{1}{2}m\omega A_2^2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}m\omega A_1^2 = W \end{array} \right. \end{array}\)

   Chọn D.

Vì mọi thời điểm thì động năng của chất điểm thứ nhất luôn bằng thế năng của chất điểm thứ hai nên x1 vuông pha với x2:

\(\begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2 = {A^2};{x_2} - {x_1} = \frac{{2A}}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1^2 = {A^2}\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{6} \approx 0,028{A^2}\\ x_2^2 = {A^2}\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{6} \approx 0,9714{A^2} \end{array} \right. \end{array}\)

Tỉ số giữa động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ ba:

\(\begin{array}{l} \frac{{{W_{d1}}}}{{{W_{d3}}}} = \frac{{v_1^2}}{{v_3^2}} = \frac{{{A^2} - x_1^2}}{{{A^2} - x_3^2}}\\ = \frac{{{A^2} - x_1^2}}{{{A^2} - \frac{{x_1^4}}{{x_2^2}}}} = \frac{{1 - 0,0286}}{{1 - \frac{{0,{{0286}^2}}}{{0,9714}}}} = 0,97 \end{array}\)

 Chọn B.