Bài 9: Kiểm định giả thiết về tính độc lập

Giả sử quan sát đồng thời hai dấu hiệu A và B trên cùng một phần tử.

Dấu hiệu A có các dấu hiệu thành phần là: $A_1,A_2,...,A_h$;

Dấu hiệu B có các dấu hiệu thành phần là: $B_1,B_2,...,B_k$

Ta cần kiểm định giả thiết:

H₀: A và B độc lập; H₁: A và B không độc lập.

Lấy mẫu kích thước n và trình bày kết quâ quan sát dưới dạng bảng sau đây:

Trong đó:

$n_i=\left(i=\overline{1,h}\right)$ là tổng số phần tử mang dấu hiệu thành phần A_i.

$m_j=\left(j=\overline{1,k}\right)$ là tổng số phần tử mang dâu hiệu thành phần B_j

$n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\left(i=\overline{1,h},j=\overline{1,k}\right)$ là tổng số phần tử mang dấu hiệu thành phần A_i và B_j.

Gọi C_i là biến cố chọn được phần tử mang dấu hiệu A_i

D_j là biến cố chọn được phần tử mang dấu hiệu B_j

Khi n khá lớn, theo định nghĩa thống kê về xác suất ta có:

$P\left(C_i{D}_j\right)=\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}}{n};P\left(C_i\right)=\frac{n_{\mathrm{i}}}{n};P\left(D_j\right)=\frac{m_{\mathrm{j}}}{n};$

Nếu H₀ đúng, tức A, B độc lập thì các dấu hiệu A_i, B_j cũng độc lập. Do đó:

$P(C_i.D_j)=P\left(C_i\right)P\left(D_j\right)$

Tức là:

$\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}}{n}=\frac{n_{\mathrm{i}}}{n}.\frac{m_{\mathrm{j}}}{n}$

Từ đó ta có qui tắc quyết định như sau:

• Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này tính:

${\chi }^2=\sum _{i=1}^h\sum _{j=1}^k\frac{{\left(\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}}{n}-\frac{n_{\mathrm{i}}}{n}.\frac{m_{\mathrm{j}}}{n}\right)}^2}{\frac{n_{\mathrm{i}}}{n}.\frac{m_{\mathrm{j}}}{n}}=n\left(\sum _{i=1}^h\sum _{j=1}^k\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}{n_i.m_j}-1\right)$

• Với mức ý nghĩa a đã cho, tra bảng ${\chi }^2$ với bậc tự do $(k-1)(h-1)$ để tìm ${\chi }_{\alpha }^2$ (hoặc dùng hàm CHIINV trong Excel).
• Nếu ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2$ thì bác bỏ H₀, thừa nhận H₁
• Nếu ${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha }^2$ thì có thể chấp nhận H₀

Thí dụ: Làm thí nghiệm bón một loại phân theo 3 phương pháp khác nhau cho cùng một loại cây trồng và quan sát việc ra hoa của loại cây này, ta có kết quả cho ở bảng sau:

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$ hãy kết luận xem phương pháp bón phân khác nhau có ảnh hưởng tới việc ra hoa của loại cây đó không ?

Giải:

Đặt giả thiết H₀: Phương pháp bón phân (dấu hiệu A) độc lập với việc ra hoa của cây (dấu hiệu B).

H₁: Phương pháp bón phân không độc lập (có ảnh hưởng) đến việc ra hoa của cây.

Từ bảng số liệu đã cho, để tính ${\chi }^2$ trước hết ta tính các số hạng:

${\alpha }_{\mathrm{i}\mathrm{j}}=\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}{n_i{m}_j}(\mathrm{\forall }i,j)$

Ở thí dụ ta đang xét, ứng với ô có $n_{ij}=40$ (tức i = 1 và j = 1) thì: 

${\alpha }_{11}=\frac{n_{11}^2}{n_1{m}_1}=\frac{{40}^2}{178.55}=0,163432$

Ứng với ô có $n_{ij}=75$ (tức i = 1 và j = 2) thì: 

${\alpha }_{12}=\frac{n_{12}^2}{n_1{m}_2}=\frac{{75}^2}{178.87}=0,363231$

Đối với các ô còn lại ta cũng tính tương tự. Kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng như sau:

Từ các kết quả tính ở bảng trên, ta tính được: 

$\sum _{i=1}^h\sum _{j=1}^k\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}{n_i.m_j}=0,163432+0,363231+...+0,049231=1,020533$

Vậy:

${\chi }^2=n\left(\sum _{i=1}^h\sum _{j=1}^k\frac{n_{\mathrm{i}\mathrm{j}}^2}{n_i.m_j}-1\right)=217(1,020533-1)=4,45565$

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$, tra bảng ${\chi }^2$ với bậc tự do:

$V=(h-1).(k-1)=(3-1).(2-1)=2$

ta được:

${\chi }_{\alpha }^2={\chi }_{0,05}^2=5,991$

Vì ${\chi }_{\alpha }^2=4,45565<{\chi }_{0,05}^2=5,991$, nên ta chấp nhận giả thiết H₀, tức phương pháp bón phân không ảnh hưởng đến việc ra hoa của loại cây này.