Bài 7: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai phương sai

Cho $X_1\sim N\left({\mu }_1;{\sigma }_1^2\right);X_2\sim N\left({\mu }_2;{\sigma }_2^2\right)$với ${\sigma }_1^{2}và{\sigma }_2^2$chưa biết. Ta cần kiểm định giả thiết $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$

Để kiểm định giả thiết trên, từ hai tổng thể rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước tương ứng là n₁ và n₂.

${\mathrm{W}}_1=\left(X_{11},X_{12},...,X_{1n1}\right)$ và ${\mathrm{W}}_2=\left(X_{21},X_{22},...,X_{2n2}\right)$

Và chọn tiêu chuẩn kiểm định là thống kê:

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}.\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}$  (8.26)

Nếu $S_1^2>S_2^2$ thì F phân phối theo qui luật Fisher - Snedecor với n₁ - 1 và n₂ - 1 bậc tự do.

Nếu giả thiết H₀ đúng thì tiêu chuẩn kiểm định có dạng:

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}(S_1^2>S_2^2)$   (8.27)

vẫn phân phối theo quy luật Fisher - Snedecor với n₁-1 và n₂-1 bậc tự do.

Miền bác bỏ giả thiết này phụ thuộc vào giả thiết đối và được cho ở bảng sau:

Thí dụ: Hai giống lúa có năng suất trung bình xấp xỉ nhau nhưng mức độ phân tán về năng suất có thể khác nhau. Để kiểm tra điều đó, người ta tiến hành lấy hai mẫu ứng với 2 giống lúa và thu được kết quả như sau:

Với mức ý nghĩa $\alpha$ = 0,05, hãy kết luận xem mức độ ổn định của năng suất đối với hai giống lúa trên có khác nhau hay không? Biết năng suất của hai giống lúa này là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

Giải: Gọi X₁ và X₂ tương ứng là năng suất của giống lúa A, B. X₁ và X₂ là các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

$X_1\sim N(\mu ,{\sigma }_1^2)$ và $X_2\sim N(\mu ,{\sigma }_2^2)$

Ta cần kiểm định giả thiết: $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2;H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về sự bầng nhau của hai phương sai (kiểm định hai phía).

Theo (8.27), tiêu chuẩn kiểm định có dạng: $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$

Với $\alpha =0,05$ thì:

$F_{\alpha /2}\left(n_1-1;n_2-1\right)=F_{0,025}\left(40;29\right)=2,02756$

$F_{1-\alpha /2}\left(n_1-1;n_2-1\right)=F_{0,975}\left(40;29\right)=0,5123$

Vậy miền bác bỏ giả thiết H₀ là: ${\mathrm{W}}_{\alpha }=\left\{(0;0,5123)\cup (2,02756;+\mathrm{\infty })\right\}$

Với mẫu cụ thể đã cho, ta có: $F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{11,41}{6,52}=1,75$

$F\notin {\mathrm{W}}_{\alpha }$ nên ta chưa có cơ sở bác bỏ giả thiết H₀, tức mức độ phân tán (hay mức độ ổn định) của năng suất đối với hai giống lúa ttên là như nhau.