Bài 5: Kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể và sự bằng nhau của hai trung bình

Giả sử tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể là p (p chưa biêt). Ta cần kiểm định giả thiết:

$H_0:p=p_0$; và giả thiết đối  $H_1:p\ne p_0$ với mức ý nghĩa a.

Để kiểm định giả thiết trên, ta lấy mẫu kích thước n khá lớn, khi đó nếu Ho đúng thì đại lượng ngẫu nhiên:

$Z=\frac{\left(F-p_0\right)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$  (8.14)

phân phối xắp xỉ N(0, 1)

Từ đó ta có thể áp dụng qui tắc quyết định như sau:

• Từ mẫu cụ thể tính f rồi tính:

$z=\frac{\left(f-p_0\right)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$

• Với $\alpha$ đã cho, xác định $Z_{\alpha /2}$ (tra bảng hoặc dùng hàm NORMSINV)
• Nếu $\left|z\right|>z_{\alpha /2}$ thì ta bác bỏ H₀;
• Nếu $\left|z\right|\le z_{\alpha /2}$ thì ta có thể chấp nhận H₀.

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ) H₀ ta suy ra kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán thực tế.

Miền bác bỏ ứng với các loại giả thiết đối khác rthau cho ở bảng sau đây:

Chú ý:

Nếu kiểm định giả thiết: $H_0:p=p_0;H_1:p\ne p_0$ Trường hợp bác bỏ giả thiết H₀

• Nếu f < p₀ thì có thể kết luận p < p₀ 
• Nếu f > p₀ thì có thể kết luận p > p₀

Thí dụ 4: Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Sau khi tiến hành một cải tiến kỹ thuật, người ta kiểm ưa 400 sản phẩm thì thấy có 16 phế phẩm.

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,01$. Hãy kết luận xem việc cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay không ?

Giải: Gọi tỷ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi cải tiến kỹ thuật là p. Đặt giả thiết $H_0:p=0,05;H_1:p<0,05$

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,01$ thì $z_{\alpha }=z_{0,01}=2,326$. Tỷ lệ phế phẩm của mẫu là:

$f=\frac{16}{400}=0,04$

Vậy

$z=\frac{\left(0,04-0,05\right)\sqrt{400}}{\sqrt{0,05(1-0,05)}}=-0,92$

Ta thấy $z=-0,92>-z_{\alpha }=-2,326$, tức $Z\notin {\mathrm{W}}_{\alpha }$ nên ta chấp nhận giả thiết H₀. Tức biện pháp kỹ thuật chưa có tác dụng làm giảm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.

Giả sử hai ĐLNN X và Y độc lập, cùng có phân phối chuẩn với E(X) và E(Y) đều chưa biết, cần kiểm định giả thiết:

$H_0:E(X)=E(Y)$ và giả thiết đối $H_1:E(X)\ne E(Y)$ với mức ý nghĩa a.

Qui tắc quyết định như sau:

• Lấy mẫu kích thước n₁ (đối với X) và n₂ (đối với Y) từ đó tính:

$z=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{\frac{v\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}{n_1}+\frac{v\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)}{n_2}}}$   (8.16)

nếu không biết var(X) và var(Y)

hoặc: 

$z=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{\frac{s_X^2}{n_1}+\frac{s_Y^2}{n_2}}}$  (8.17)

• Các công việc còn lại giống như qui tắc quyết định khi kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể.

Thí dụ 5: Trọng lượng sản phẩm do hai nhà máy sản xuất là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn và có cùng độ lệch tiêu chuẩn là $\sigma =1kg$

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$, có thể xem trọng lượng trung bình của sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là như nhau hay không? Nếu cân thử 25 sản phẩm của nhà máy A ta tính được: $\bar{x}=50kg$; Cân 20 sản phẩm của nhà máy B thì tính được: $\bar{y}=50,6kg$.

Giải:

Gọi trọng lượng sản phẩm của nhà máy A là X; của nhà máy B là Y. Theo giả thiết ta có X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên cùng phân phối theo qui luật chuẩn với Var(X) = Var(Y) = 1.

Đặt giả thiết $H_0:E(X)=E(Y);H_1:E(X)\ne E(Y).$

Với mức ý nghĩa $\alpha =0,05$ thì $Z_{\alpha /2}=1,96$.

Tính 

$z=\frac{\left(50-50,6\right)}{\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{20}}}=-2$

Ta thấy $\left|z\right|=2>z_{\alpha /2}$ nên bác bỏ H₀. Tức trọng lượng trung bình của sản phẩm sản xuất ở hai nhà máy là khác nhau.