Bài 6: Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ và phương sai của tổng thể

Giả sử p₁, p₂ tương ứng là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thể thứ nhất, thứ hai (p₁, p₂ chưa biết). Ta cần kiểm định giả thiết:

\(H_0:p_1=p_2=p_0\); và giả thiết đối \(H_1:p_1 \ne p_2\)

với mức ý nghĩa \(\alpha\).

Chọn thông kê: 

\(Z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p_0}(1 - {p_0})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)   (8.18)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Trong đó f₁ là tỷ lệ phần tử có dấu hiệu A của mẫu ngẫu nhiên kích thước n₁ được xây dựng từ X (X là số phần tử có dâu hiệu A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể thứ nhât).

f₂ là tỷ lệ phần tử có dấu hiệu A của mẫu ngẫu nhiên kích thước n₂ được xây dựng từ Y (Y là số phần tử có dâu hiệu A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể thứ hai).

Với kích thước mẫu lớn và giả thiết H₀ đúng thì z có phân phôi xấp xỉ chuẩn tắc.

Nếu chưa biết p₀ thì ta thay p₀ bằng ước lượng hợp lý tối đa của nó

\({p^*} = \frac{{{n_1}{p_1} + {n_2}{p_2}}}{{{n_1} + {n_2}}}\) (8.19)

Khi đó ta chọn thông kê:

\(Z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.20)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Qui tắc quyết định như sau:

Lấy hai mẫu kích thước n₁, n₂. Tính f₁, f₂ tương ứng là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của mẫu có kích thước n₁, n₂, sau đó tính:

\(z = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.21)

nếu không biết p₀.

hoặc:

\(z = \frac{{\overline x - \overline y }}{{\sqrt {{p^*}(1 - {p^*})\left( {\frac{1}{{{n_1}}} + \frac{1}{{{n_2}}}} \right)} }}\)  (8.22)

Các bước tiếp theo tiến hành tương tự như qui tắc đã nêu ở phần VII.

Thí dụ 6: Kiểm tra những sản phẩm được chọn ngẫu nhiên ở hai nhà máy cùng sản xuất loại sản phẩm này. Ta có các số liệu sau:

Nhà máy	Số sp được kiểm tra	Số phế phẩm
A B	1000 900	20 30

Với mức ý nghĩa \(\alpha = 0,05\), có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau hay không ?

Giải: Gọi p₁, p₂ tương ứng là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy A, B.

Đặt giả thiết:

\({H_0}:{p_1} = {p_2};\,\,{H_1}:{p_1} \ne {p_2}\)

Với mức ý nghĩa \(\alpha = 0,05\) thì \(z_{0,05}=1,96\).

Từ số liệu đã cho ta tính được:

\({f_1} = \frac{{20}}{{1000}} = 0,02;\,\,\,\,{f_2} = \frac{{30}}{{900}} = 0,033\)

\({p^*} = \frac{{20 + 30}}{{1000 + 900}} = \frac{1}{{38}} \Rightarrow 1 - {p^*} = \frac{{37}}{{38}}\)

Vậy

\(z = \frac{{(0,02 - 0,033)}}{{\sqrt {\frac{1}{{38}}.\frac{{37}}{{38}}.\left( {\frac{1}{{1000}} + \frac{1}{{900}}} \right)} }} = - 1,81\)

Ta thấy \(\left| z \right| = 1,81 < {z_{0,05}}\) nên chấp nhận giả thiết H₀, tức có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau.

Giả sử ĐLNN X phân phối theo qui luật chuẩn và chưa biết var(X). cần kiểm định giả thiết:

\({H_0}:v{\rm{ar}}(X) = \sigma _0^2\) và giả thiết đối \({H_1}:v{\rm{ar}}(X) \ne \sigma _0^2\) với mức ý nghĩa \(\alpha\).

Lập mẫu ngẫu nhiên W_x = (X₁, X₂,..., X_n).

Chọn thống kê:

\({\chi ^2} = \frac{{(n - 1).{S^2}}}{{\sigma _0^2}}\)  (8.23)

làm tiêu chuẩn kiểm định.

Nếu H₀ đúng thì \({\chi ^2}\) phân phối theo qui luật “Chi bình phương” với n-1 bậc tự do.

Với mức ý nghĩa \(\alpha\), miền bác bỏ giả thiết H₀ là:

Trong đó \(\chi _{\alpha /2}^2\,\,và\,\,\chi _{1 - \alpha /2}^2\) là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên \({\chi ^2}\) phân phối theo qui luật “Chi bình phương” với n-1 bậc tự do thỏa mãn điều kiện:

\(P\left( {{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2} \right) = \frac{\alpha }{2};\,\,\,\,\,P\left( {{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha /2}^2} \right) = 1 - \frac{\alpha }{2}\)

Ta có thể minh họa miền bác bỏ \(W_{\alpha}\)như sau:

Qui tắc quyết định:

• Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này tính s² rồi tính:

\({\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}\)  (8.25)

• Với mức ý nghĩa \(\alpha\), tra bảng \(\chi _\alpha ^2\) (bậc tự do n-1) để tìm các giá trị \(\chi _{\alpha /2}^2\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2\)
• Nếu \({\chi ^2} \notin \left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2;\chi _{\alpha /2}^2} \right)\) thì bác bỏ H₀ thừa nhận H₁
• Nếu \({\chi ^2} \in \left( {\chi _{1 - \alpha /2}^2;\chi _{\alpha /2}^2} \right)\) thì có thể chấp nhận H₀

Từ việc bác bỏ (hoặc chấp nhận H₀) ta suy ra kết luận cuối cùng cho bài toán thực tế đang xét.

Ta có thể tóm tắt miền bác bỏ giả thiết này ứng với các loại giả thiết đối khác nhau ở bảng sau đây:

Giả thiết	Miền bác bỏ
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) < }}\sigma _0^2 \end{array}\)	\({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}:{\chi ^2} < \chi _{1 - \alpha }^2(n - 1)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) > }}\sigma _0^2 \end{array}\)	\({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2} = \frac{{(n - 1){s^2}}}{{\sigma _0^2}}:{\chi ^2} > \chi _{1 - \alpha }^2(n - 1)} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {H_0}:v{\rm{ar(X) = }}\sigma _0^2\\ {H_1}:v{\rm{ar(X) \ne }}\sigma _0^2 \end{array}\)	\({{\rm{W}}_\alpha } = \left\{ {{\chi ^2}:{\chi ^2} < \chi _{1 - \alpha /2}^2(n - 1);\,\,hoac\,\,{\chi ^2} > \chi _{\alpha /2}^2(n - 1)} \right\}\)

Thí dụ 8: Nếu máy móc hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với Var(X) = 12. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường người ta cân thử 13 sản phẩm và tính được s² = 14,6.

Với mức ý nghĩa \(\alpha\) = 0,05. Hãy kết luận điều nghi ngờ trên có đúng hay không ?

Giải: Để giải bài toán trên ta cần kiểm đinh giả thiết:

\(H_0: Var(X) = 12 ; H_1: Var(X) \ne 12 \)

Từ các số liệu của bài toán ta tính được:

\({\chi ^2} = \frac{{(13 - 1)14,6}}{{12}} = 14,6\)

Với \(\alpha\) = 0,05; Tra bảng \(\chi _\alpha ^2\) với (n - 1) = 12 bậc tự do ta được:

\(\chi _{\alpha /2}^2 = \chi _{0,025}^2 = 23,3\) và \(\chi _{1 - \alpha /2}^2 = \chi _{0,975}^2 = 4,4\)

Ta thấy 4,4 < \({\chi ^2}\) < 23,3 nên chấp nhận giả thiết H₀, tức là điều nghi ngờ trên là không đúng, máy vẫn làm việc bình thường.