Bài 4: Tính xác suất sai lầm loại 2

Ta có thể giá trị $\beta$ là xác suất sai lầm loại 2.

Trở lại thí dụ về trọng lượng của gà khi xuất chuồng đã nêu ở phần trên. Xét cặp giả thiết.

$H_0:\mu =3,4;H_1:\mu >3,4$

Ta thấy xác suất để thừa nhận giả thiết H₀ sai sẽ phụ thuộc vào việc giá trị thực của $\mu$ sai lệch nhiều hay ít so với 3,4. Chẳng hạn nếu giá trị thực của $\mu$

là 3,6 thì $\beta$ sẽ nhỏ hơn trường hợp giá trị thực của $\mu$ là 3,45. Vậy tùy thuộc vào giá trị thực của $\mu$ mà ta có các giá trị $\beta$ khác nhau. Điều này được minh họa trên hình 8.9-a, 8.9-b, 8.9-c tương ứng với 3 giá trị thực của $\mu$ là : 3,48 ; 3,54 và 3,6

Hình 8.9-a: Trường hợp $H_1:\mu =3,48$

Hình 8.9-b: Trường hợp $H_1:\mu =3,54$

Hình 8.9-c: Trường hợp $H_1:\mu =3,6$

Giả sử ta vẫn kiểm định giả thiết $H_0:\mu =3,4;H_1:\mu >3,4$ với mức ý nghĩa $\alpha =0,01$. Diện tích phần gạch chéo trên các hình 8.9-a, 8.9-b, 8.9-b biểu thị giá trị của p ứng với các trường hợp giá trị thực của p là 3,48; 3,54 và 3,6.

$\beta =P\left(Z^{\prime }<z_{1-\beta }\right)=P\left(Z^{\prime }<z_{\alpha }\right)=P\left[\frac{\bar{X}-m_1}{se(\bar{X})}<z_{\alpha }\right]$

$=P\left[\frac{\left(\bar{X}-m_0\right)}{se\left(\bar{X}\right)}+\frac{\left(m_0-m_1\right)}{se\left(\bar{X}\right)}<z_{\alpha }\right]=P\left[\frac{\left(\bar{X}-m_0\right)}{se\left(\bar{X}\right)}<z_{\alpha }-\frac{\left(m_0-m_1\right)}{se\left(\bar{X}\right)}\right]$

$\Rightarrow \beta =P\left[Z<z_{\alpha }-\frac{\left(m_0-m_1\right)}{se\left(\bar{X}\right)}\right]$   (8.10)

Bằng cách chứng minh tương tự ta được biểu thức của $\beta$ khi miền bác bỏ là bên trái:

$\beta =P\left[Z<z_{\alpha }-\frac{\left(m_1-m_0\right)}{se\left(\bar{X}\right)}\right]$  (8.11)

Từ đó ta có công thức chung để tìm xác suất mắc phải sai lầm loại 2 khi miền bác bỏ là một phía (bên phải hoặc bên trái) như sau:

$\beta =P\left[Z<z_{\alpha }-\frac{\left|m_0-m_1\right|}{se\left(\overline{X}\right)}\right]$   (8.12)

Nếu kiểm định giả thiết hai phía thì p được xác định bằng công thức sau:

$\beta =P\left[Z<z_{\alpha /2}-\frac{\left|m_0-m_1\right|}{se\left(\overline{X}\right)}\right]$

Thí dụ: Xét tiếp thí dụ về trọng lượng gà khi xuất chuồng. Tìm xác suất mắc sai lầm loại 2 và lực kiểm định nếu trọng lượng trung bình của gà khi xuất chuồng sau khi áp dụng phương pháp chăn nuôi mới là 3,52 kg.

Giải: Vì giả thiết đối là $H_1:\mu >3,4$ nên với $\alpha =0,01;m_0=3,4;m_1=3,52$. Theo công thức 8.12 ta có:

$\beta =P\left[Z<z_{0,01}-\frac{\left|3,4-3,52\right|}{0,32/\sqrt{50}}\right]=P\left(Z<2,326-2,65165\right)$

$=P(Z<-0,33)=P(Z>0,33)=0,5-\mathrm{\Phi }(0,33)=0,371$

Lực kiểm định là: $1-\beta =1-0,371=0,629$