Bài 7: Hình bình hành

 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \) AB // CD và AD // BC.

Như vậy, hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

Định lí: Trong một hình bình hành thì:

a) Các cạnh đối bằng nhau.

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) AB =DC và AD = BC.

b) Các góc đối bằng nhau

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \)\(\widehat {A\,} = \widehat C\) và \(\widehat B = \widehat D\)

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) OA = OC và OB = OD

Tứ giác có một trong các tính chất sau đây là hình bình hành

1. Các cạnh đối song song

Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

2. Các cạnh đối nhau

Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

3. Các góc đối bằng nhau

Tứ giác ABCD có \(\widehat {A\,} = \widehat C\)  và \(\widehat B = \widehat D\) \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

4. Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Tứ giác ABCD có OA = OC và OB = OD \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

5. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD hoặc AD // BC và AD = BC \( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành.

---

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự, lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ.

Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải

ABCD là hình bình hành cho ta:

AB = CD và \(\widehat B = \widehat D\)

Theo giả thiết AM = CP nên từ trên ta suy ra: BM = DP

Xét hai tam giác BMN và DPQ có:

\(\begin{array}{l}BM = DP\\\widehat B = \widehat D\\BN = DQ\\ \Rightarrow \Delta BMN = \Delta DPQ \Rightarrow \widehat M = \widehat P\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Gọi E là giao điểm của PQ và đường thẳng AB

\(DC//AB \Rightarrow \widehat P = \widehat E\)            (2)

Từ (1), (2) và  vì \(\widehat M,\widehat E\) là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra: MN // PQ

Chứng minh tương tự ta có: MQ // NP

Tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song nên theo định nghĩa nó là hình bình hành.

---

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC, AB = AC và P là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BP, CP.  Đường trung trực của BP cắt cạnh AB tại điểm E. Đường trung trực của CP cắt cạnh AC tại điểm F.

1. Chứng tỏ tứ giác AEPF là hình bình hành

2. Tổng PE + PF không phụ thuộc vào việc chọn điểm P trên BC.

Giải

1. \(\Delta PFC\) cân đỉnh F vì FP = FC

Nên \(\widehat {{P_1}} = \widehat C\) mà \(\widehat C = \widehat B\)

\( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat B \Rightarrow PF//AB\)

Tương tự, ta có PE // AC

Tứ giác AEPF có các cạnh đối song song.

Vậy nó là hình bình hành.

2. AEPF là hình bình hành

nên PE = BE

      PF = EA

\(\Rightarrow PE + PF = BE + EA = AB\)

Tổng PE + PF luôn bằng cạnh bên AB của tam giác cân.

Vậy nó không phụ thuộc  vào việc chọn điểm P trên cạnh BC.

---

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy hai điểm E, F sao cho AE = EF = FC.

1. Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành

2. DF cắt BC tại M. Chứng minh DF = 2FM

3. BF cắt DC tại I và DE cắt AB tại J. Chứng minh ba điểm I, O, J thẳng hàng.

Giải

1. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

OA = OC

Kết hợp với AE = CF, ta suy ra

 OE = OF

\( \Rightarrow \) O là trung điểm của EF

Ta cũng có O là trung điểm của DB.

Vậy BEDF là hình bình hành

2. Ta có \({\rm{OF}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}} \Rightarrow {\rm{FC = }}\frac{2}{3}OC.\) Trong tam giác CDB, điểm F nằm trên trung tuyến CO và cách đỉnh một đoạn bằng \(\frac{2}{3}\) trung tuyến. Vậy F là trọng tâm của \(\Delta CDB,\) suy ra: DF = 2FM

3. F là trọng tâm của \(\Delta CDB\) suy ra I là trung điểm của DC:

\(DI = \frac{1}{2}DC.\)

Tương tự, E là trọng tâm của \(\Delta ADB\), suy ra

\(BJ = \frac{1}{2}AB\)

Vậy DI = BJ

Tứ giác BIDJ có DI // BJ và DI = BJ nên nó là hình bình hành, suy ra IJ đi qua trung điểm O của DB.

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DF, BF và CD. Chứng minh:

1. Các tứ giác IJFK và IEKJ là các hình bình hành

2. Ba điểm E, K, F thẳng hàng

Giải

1. Ta có

IJ  // DB và \({\rm{IJ}} = \frac{1}{2}DB\)

KF // DB và \(KF = \frac{1}{2}DB\)

\( \Rightarrow {\rm{IJ}}//KF\) và IJ = KF

\( \Rightarrow \) IJFK là hình bình hành

Tương tự ta có IEKJ là hình bình hành.

2. Ta có DE // FC và DE = FC

\( \Rightarrow \) DECF là hình bình hành \( \Rightarrow \) EF đi qua K.

---

Bài 2: Chứng minh rằng:

1. Trong một hình bình hành, giao điểm của các đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối

2. Ngược lại, nếu một tứ giác có giao điểm của hai đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối hai trung điểm của các cạnh đối thì tứ giác đó là hình bình hành.

Giải

1. Xét hình bình hành ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của DC.

Dễ thấy \(\Delta AIO = \Delta CJO\), suy ra:

Ba điểm I, O, J thẳng hàng

OI = OJ

\( \Rightarrow \) O là trung điểm của IJ

Tương tự, với H là trung điểm  của AD và K là trung điểm của BC thì O cũng là trung điểm của HK.

2. Ngược lại, giả sử tứ giác ABCD có giao điểm O của hai đường chéo AC, BD cũng là trung điểm của các đoạn thẳng IJ, HK nối trung điểm của các cạnh đối diện.

Tứ giác HIKJ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành, cho ta:

\(IK//HJ \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\)

Xét hai tam giác MOJ và NOI ta có:

\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\)

\(OI = {\rm{OJ}}\)

\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta M{\rm{OJ}} = \Delta NOI \Rightarrow OM = ON\)   (1)

Trong tam giác ABC, IK là đường trung bình, suy ra N là trung điểm của OB:

\(ON = \frac{1}{2}OB\) (2)

Tương tự ta có \(OM = \frac{1}{2}OD\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (2), (3) và (3) suy ra OB = OD

Chứng minh tương tự, ta có OA = OC.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

---

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của hai cạnh đối AB, CD, M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE, BF và DE.

1. Chứng minh các đường thẳng MP, NQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

2. Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải

1. ME // FP và ME = FP (ME là đường trung bình của tam giác AFB)

\( \Rightarrow \) MEPF là hình bình hành nên EF và MP giao nhau tại O là trung điểm của EF và MP

QF // NE và QF = NE (QF là đường trung bình của tam giác DEC)

\( \Rightarrow \) QFNE là hình bình hành nên QN và MP cùng giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay QN cũng đi qua O.

2. Từ kết quả trên ta suy ra:

OM = OP và ON = OQ

\( \Rightarrow \)MNPQ là hình bình hành.

Qua bài giảng Hình bình hành này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm được khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành
• Chứng minh được tứ giác là hình bình hành
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 7 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn ý sai

  • A.  Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
  • B.  Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
  • C.  Tứ giác có hai góc đối bằng nhau là hình bình hành
  • D.  Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

• Câu 2:

   Chọn ý đúng

  • A. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song
  • B.  Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau
  • C.  Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
  • D.  Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 43 trang 92 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 44 trang 92 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 45 trang 92 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 46 trang 92 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 47 trang 93 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 48 trang 93 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 49 trang 93 SGK Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!