Bài 1: Tứ giác

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi

Tứ giác đơn là tứ giác mà các cạnh chỉ cắt nhau tại đỉnh.

Tứ giác lồi là tứ giác đơn luôn nằm trong nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

a) Tính chất đường chéo

Người ta chứng minh được rằng:

Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác.

Ngược lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của nó thì tứ giác ấy là tứ giác lồi.

b) Tính chất góc

Định lí:

Tổng số do bốn góc của tứ giác bằng 360^o

Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp chứng minh phản chứng được tóm tắt như sau:

"Để chứng minh mệnh đề A là đúng, ta giả thiết rằng a là sai. Từ giả thiết A sai ta rút ra được kết luận vô lí (trái với giả thiết hoặc trái với các định lí, tiên đề hoặc trái với các kết luận đúng mà ta có)."

Như vậy A đúng.

Bài tập cơ bản

Cho tứ giác ABCD có các góc A, B, C, D có số đo tỉ lệ với các số 1; 2; 3; 4.

Tính số đo của các góc \(\widehat A;\widehat B;\widehat C;\widehat D\)

Ta có: \(\frac{{\widehat A}}{1} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{3} = \frac{{\widehat D}}{4}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = \frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}}}}{{1 + 2 + 3 + 4}} = \frac{{{{360}^o}}}{{10}} = {36^o}\)

( vì \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{D}} = {360^ \circ }\)).

Vậy:

\(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{1} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{A}} = {36^ \circ }\) ; \(\frac{{\widehat {\rm{B}}}}{2} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{B}} = {72^ \circ }\);

\(\frac{{\widehat {\rm{C}}}}{3} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {108^ \circ }\); \(\frac{{\widehat {\rm{D}}}}{4} = {36^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm{D}} = {144^ \circ }\).

Bài tập nâng cao:

Cho tứ giác ABCD, biết AB = AD; \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ };\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {\rm{D}} = {135^ \circ }\).

1. Tính góc \(\widehat {\rm{C}}\) và chứng minh rằng BD = BC.

2. Từ A ta kẻ AE vuông góc với đường CD. Tính các góc của tam giác AEC.

Giải

1. Ta có: ​​​\(\begin{array}{l} \widehat {\rm{C}} = {360^ \circ } - ({60^ \circ } + {90^ \circ } + {135^ \circ })\\ \Rightarrow \widehat {\rm{C}} = {75^ \circ } \end{array}\)

Tam giác ABD có AB = AD và \(\widehat {\rm{A}} = {60^ \circ }\)

nên nó là ta giác đều, suy ra:

\(\widehat {{\rm{D}}_1^{}} = {60^ \circ }{\rm{ }}\) và \( \widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {135^ \circ }{\rm{ - }}\widehat {{\rm{D}}_1^{}}{\rm{ = 13}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ - }}{60^ \circ } = {75^ \circ }{\rm{ }}\)

Tam giác CBD có \(\widehat {\rm{C}} = {\rm{ }}\widehat {{\rm{D}}_2^{}} = {75^ \circ }{\rm{ }}\) nên nó là tam giác cân. Vậy BD = BC.

2. Tứ giác ABCE có \(\widehat {\rm{B}} = {90^ \circ }{\rm{,}}\widehat {\rm{E}} = {90^ \circ }{\rm{; }}\widehat {\rm{C}}{\rm{ = 7}}{{\rm{5}}^ \circ }{\rm{ }}\) nên: \(\widehat {{\rm{EAB}}}{\rm{ = 36}}{0^ \circ } - ({90^ \circ } + {90^ \circ } + {75^ \circ }) = {105^ \circ }\)

Ta có: BC = BD mà BD = BA \( \Rightarrow \) BC = BA

\( \Rightarrow \) \(\Delta {\rm{ABC}}\) là tam giác vuông cân nên : \(\widehat {{\rm{BAC}}} = {45^ \circ }\).

ta có: \(\widehat {{\rm{CAE}}} = {105^ \circ } - {45^ \circ } = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {{\rm{ACE}}} = {90^ \circ } - {60^ \circ } = {30^ \circ }\)

Chú ý: có thể tính \(\widehat {{\rm{ACE}}} \) trước;

\(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông cân \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BCA}}} = {45^ \circ }.\)

\(\widehat {{\rm{EAC}}} = \widehat {{\rm{ECB}}} - \widehat {{\rm{ACB}}} = {75^ \circ } - {45^ \circ } = {30^ \circ }\).

Qua bài giảng Tứ giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nhận biết được tứ giác
• Ghi nhớ được tính chất của tứ giác
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Tổng 4 góc của một tứ giác bằng:
   

  • A. \(180^o\)
  • B. \(90^o\)
  • C. \(360^o\)
  • D. \(540^o\)

• Câu 2:

  Cho tứ giác ABCD biết \(\angle A + \angle B = {160^0}\) hỏi \(\angle C + \angle D = ?\)

  • A. \({200^0}\)
  • B. \({20^0}\)
  • C. \({260^0}\)  
  • D. \({320^0}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 1 trang 66 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 2 trang 66 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 3 trang 67 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 4 trang 67 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 5 trang 67 SGK Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!