Bài 12: Hình vuông

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Từ định nghĩa này ta suy ra:

- Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.

Vì hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi nên hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật (Chẳng hạn: hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) và  có tất cả các tính chất của hình thoi (chẳng hạn: hai đường chéo vuông góc với nhau và mỗi đường chéo là phân giác của các góc ở đỉnh), đặc biệt ta có thể phát biểu định lí:

Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Hình vuông có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình vuông có bốn trục đối xứng là hai đường chéo và hai đường thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện.

Để chứng minh một hình vuông, ta chứng minh:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc

- Hình thoi có một góc vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

---

Ví dụ 1: Trên một đường thẳng xy, lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự ấu và AB > BC. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy, vẽ các hình vuông ABDE và BCFG. Một điểm H thuộc đoạn thẳng AB và một điểm K thuộc tia đối của tia DB sao cho AH = DK = BG. Chứng minh rằng EHFK là hình vuông.

Giải

Ta có: $\mathrm{\Delta }EAK=\mathrm{\Delta }KGF=\mathrm{\Delta }HCF=\mathrm{\Delta }EAH$

$\Rightarrow EK=KF=FH=HE$

$\Rightarrow$ EHFK là hình thoi (1)

$\mathrm{\Delta }EDK=\mathrm{\Delta }KGF\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{K_1}$

Mà $\widehat{E_1}=\widehat{K_2}={90}^0\Rightarrow \widehat{K_1}+\widehat{K_2}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{EKF}={90}^0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

---

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH và  trung tuyến AM. Đường phân giác của góc A cắt đường trung trực của cạnh BC tại điểm D. Từ D kẻ DE vuông góc với BC và DF vuông góc với AC. Chứng minh:

1. AD là phân giác của góc HAM.

2. Ba điểm E, M, F thẳng hàng.

3. Tam giác BDC là tam giác vuông cân.

Giải

1. Ta có:

$\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (cùng phụ với $\hat{B}$)

$\widehat{C_1}=\widehat{A_2}$ ($\mathrm{\Delta }AMC$cân)

Suy ra $\widehat{A_3}+\widehat{A_4}$

$\Rightarrow$ AD là phân giác của góc HAM.

2. AH // DM $\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{A_4}$ mà $\widehat{A_4}=\widehat{A_3}$

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{A_3}\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMD$ cân

$\Rightarrow$ MA = MD.

Ta dễ dàng chứng minh được AEDF là hình vuông, cho ta

EA = ED; FA = FD

Như vậy cả ba điểm E, M, F đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

3. $\mathrm{\Delta }BED=\mathrm{\Delta }CFD\Rightarrow \widehat{D_2}=\widehat{D_3}$

$\widehat{BDC}=\widehat{BDF}+\widehat{D_3}=\widehat{BDF}+\widehat{D_2}=\widehat{EDF}={90}^0$

Kết hợp với DB = DC suy ra đpcm.

---

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Từ một điểm M thuộc đường chéo BD, ta kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. Chứng minh:

1. DE = CF và $DE\mathrm{\perp }CF.$

2. CM = EF và $CM\mathrm{\perp }\mathrm{E}\mathrm{F}.$

3. BF = CE và $BF\mathrm{\perp }CE.$

4. Qua các kết quả trên, có thể kết luận gì vị trí tương đối của các đường thẳng DE, CM và BF?

Giải

1. $\mathrm{\Delta }EAD=\mathrm{\Delta }FDC$

$\Rightarrow DE=CF$ và $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$

Ta có $\widehat{C_1}+\widehat{F_1}={90}^0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{D_1}+\widehat{F_1}={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{DKF}={90}^0\\ \Rightarrow DE\mathrm{\perp }CF.\end{array}$

2. ABCD là hình vuông; $M\in BD$

$\Rightarrow$ MA = MC.

AEMF là hình chữ nhật $\Rightarrow$ MA = EF. Vậy CM = EF.

$\mathrm{\Delta }CNM=\mathrm{\Delta }EAF\Rightarrow \widehat{C_2}=\widehat{AEF}$

$AB//FN\Rightarrow \widehat{EKM}=\widehat{M_1}$ (đồng vị)

$\widehat{EKM}+\widehat{AEF}=\widehat{C_2}+\widehat{M_1}={90}^0\Rightarrow \widehat{KIE}={90}^0\Rightarrow CM\mathrm{\perp }\mathrm{E}\mathrm{F}$

3.

 $\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }B\mathrm{A}\mathrm{F}=\mathrm{\Delta }\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{E}\Rightarrow BF=CE\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{BCE}\\ \Rightarrow \widehat{BEC}+\widehat{ABF}=\widehat{BEC}+\widehat{BCE}={90}^0\Rightarrow \widehat{EHB}={90}^0\\ \Rightarrow BF\mathrm{\perp }CE.\end{array}$

4. Trong tam giác CEF thì DE, CM và DF là các đường cao nên chúng đồng quy.

Chú ý: Trong bài này, để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh rằng chúng tạo với mội đường thẳng thứ ba một tam giác có tổng hai góc bằng ${90}^0$

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là những đường thẳng đặc biệt trong tam giác (đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực).

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ là đường thẳng BC, vẽ hình AHDE.

1. Chứng minh điểm D thuộc đoạn thẳng HC.

2. Gọi F là giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại điểm G. Chứng minh tứ giác ABGF là hình vuông.

3. Chứng minh ba đường thẳng AG, BF và HE đồng quy.

4. Chứng minh tứ giác DEHG là hình thang.

Giải

1. Ta có: $AC>AB\Rightarrow \hat{B}>\hat{C}$

Mà $\hat{B}=\widehat{A_2}\Rightarrow \widehat{A_2}>\hat{C}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow HC>AH;AH=HD\\ \Rightarrow HD>HC\end{array}$

$\Rightarrow$ Điểm D nằm giữa hai điểm H, D hay D thuộc đoạn thẳng HC.

2. $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}={90}^0;\widehat{A_2}+\widehat{A_3}={90}^0\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_1}$

Kết hợp với AE = AH suy ra $\mathrm{\Delta }AEF=\mathrm{\Delta }AHB\Rightarrow AB=\mathrm{A}\mathrm{F}(1)$

$\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{F}}=\widehat{BAH}+\widehat{\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{F}}=\widehat{\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{F}}+\widehat{FAE}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{F}}={90}^0(2)$

AF // BG và AB // FG $\Rightarrow$ ABGF là hình bình hành.   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ABGF là hình vuông.

3. Gọi M là giao điểm của BF và AG. Trong tam giác vuông BDF, DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BF.

$MD=\frac{1}{2}BF\Rightarrow MD=MA$

$\Rightarrow$M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Ta cũng có EA = ED, HA = HD $\Rightarrow$ E, H cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD hay ba điểm H, M, E thẳng hàng, HE cũng đi qua M . Vậy BF, AG và HE đồng quy tại M.

4. AHDE là hình vuông $HE\mathrm{\perp }AD.$

Trong tam giác ADG, trung tuyến MD bằng $\frac{1}{2}$ cạnh đối diện  AG. Vậy $\mathrm{\Delta }ADG$ là tam giác vuông tại D.

$\widehat{ADG}={90}^0\Rightarrow DG\mathrm{\perp }AD.$

Từ các kết quả trên, suy ra HE // DG.

Vậy  DEHG là hình thang.

---

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = a và một điểm M bất kì thuộc đoạn thẳng ấy. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.

1. Chứng minh  tại một điểm mà ta gọi là H.

2. Chứng minh D, H, F thẳng hàng.

3. Gọi I là trung điểm của đoạn  thẳng DF. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AB theo a; suy ra rằng I là điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB.

4. Chỉ rõ rằng đường thẳng BE đi qua I. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì đỉnh C của hình vuông BMEF di chuyển trên những đường thẳng cố định nào?

Giải

1. Ta có: AC // MF

MBFE là hình vuông nên $EB\mathrm{\perp }MF$

Từ các kết quả này, suy ra $EB\mathrm{\perp }AC.$

Xét $\mathrm{\Delta }ABC,$ ta có $EB\mathrm{\perp }AC,CM\mathrm{\perp }AB.$

$\Rightarrow$ E là trực tâm của $\mathrm{\Delta }ABC.$

Vậy $AE\mathrm{\perp }BC.$

2. $AE\mathrm{\perp }BC$ tại H $\Rightarrow \mathrm{\Delta }AHC$ vuông tại H.

Gọi O là tâm của hình vuông AMCD, trong $\mathrm{\Delta }AHC,$ OH là trung tuyến thuộc cạnh huyền AC nên

$OH=\frac{1}{2}AC$ hay $OH=\frac{1}{2}DM.$

Tam giác DHM có trung tuyến HO bằng $\frac{1}{2}$ cạnh đối diện DM nên nó là tam giác vuông tại đỉnh $H\Rightarrow \widehat{DHM}={90}^0.$

Tương tự, ta chứng minh được $\mathrm{\Delta }HMF$ vuông tại $H\Rightarrow \widehat{MHF}={90}^0.$

Ta được $\widehat{DHF}=\widehat{DHM}+\widehat{MFH}={90}^0+{90}^0={180}^0$

$\Rightarrow$ Ba điểm D, H, F thẳng hàng.

3. Kẻ $IH\mathrm{\perp }AB\Rightarrow IK$ là đường trung bình của hình thang ABFD.

$IK=\frac{1}{2}(AD+BF)=\frac{1}{2}(AM+MB)=\frac{1}{2}a.$

K là trung điểm của AB.

Điểm I nằm trên đường trung trực của AB và $IK=\frac{1}{2}a$ = không đổi.

$\Rightarrow$ I là điểm cố định.

4. Dễ thấy $\widehat{DMF}={90}^0.$ Tam giác DMF vuông tại M có MI là trung tuyến thuộc cạnh huyền DF nên

$MI=\frac{1}{2}DF=ID.$

Vì $MI=ID\Rightarrow I$ nằm trên đường chéo AC của  hình vuông AMCD, suy ra I là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng AB, nên

$\widehat{IBA}=\widehat{IAB}={45}^0.$

Ta đã có $\widehat{EBA}={45}^0$

Vậy ba điểm B, E, I thẳng hàng.

Như vậy, do $\widehat{CAB}={45}^0\Rightarrow$ đường thẳng AC là đường thẳng cố định. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì C di chuyển trên đường thẳng Ax tạo với đường thẳng AB góc $\widehat{xAB}={45}^0$

Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm C di chuyển trên cạnh huyền AC’ cua tam giác ABC’ vuông cân tại đỉnh B (đoạn thẳng AC’ thuộc tia AI), điểm E di chuyển trên cạnh huyền AE’ của tam giác ABE’ vuông cân tại đỉnh A (đoạn thẳng BE’ thuộc tia BI).

---

Bài 3: Một góc vuông xAy quay quanh đỉnh A của hình vuông ABCD. Cạnh Ax cắt các đường thẳng BC và CD theo thứ tự tại các điểm M, N và cạnh Ay cắt các đường thẳng BC, CD theo thứ tự tại các điểm P, Q.

1. Chứng minh các tam giác NAP, MAQ là các tam giác vuông cân.

2. Gọi E là giao điểm của QM và PN; F và I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng QM và PN. Chứng minh tứ giác AFEU là hình chữ nhật.

3. Khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A thì các điểm F, I di chuyển trên đường thẳng cố định nào?

Giải

1. Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}={90}^0;\widehat{A_3}+\widehat{A_1}={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_2}$

Kết hợp AD = AB

Suy ra $\mathrm{\Delta }ADN=\mathrm{\Delta }ABP$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }NAP$ vuông cân.

Lí luận tương tự, với hai tam giác ADQ và ABM để có AQ = AM.

2. Trong tam giác PQN, ta có:

$NA\mathrm{\perp }PQ,PC\mathrm{\perp }QN.$

$\Rightarrow$ M là trực tâm của $\mathrm{\Delta }PQN\Rightarrow QE\mathrm{\perp }NP.$

$\mathrm{\Delta }NAP$ vuông cân, I là trung điểm của PN $\Rightarrow AI\mathrm{\perp }PN$

$\mathrm{\Delta }QAM$ vuông cân, F là trung điểm của QM $\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{\perp }\mathrm{Q}\mathrm{M}.$

Tứ giác AFEI có ba góc vuông nên có là hình chữ nhật.

3. Ta có, trong tam giác vuông PCM, CI là trung tuyến thuộc cạnh huyền PN nên

$CI=\frac{1}{2}PN$

Trong tam giác vuông PAN, AI là trung tuyến thuộc cạnh huyền PN nên

$AI=\frac{1}{2}PN$

$\Rightarrow IC=IA\Rightarrow I$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CA hay I nằm trên đường thẳng DB (chứa đường chéo BD của hình vuông).

Lí luận tương tự, ta có FA = FC.

Ta đã có DA = DC và BA = BC.

Vậy khi góc vuông xAy quay xung quanh đỉnh A thì hai điểm F, I di chuyển trên đường thẳng DB.

Qua bài giảng Hình vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nhận biết được hình vuông
• Ghi nhớ được tính chất, dấu hiệu nhận biết hình vuông
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 12 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

   Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào không đủ để kết luận tứ giác là hình vuông

  • A.  Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
  • B.  Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc nhau là hình vuông
  • C.  Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
  • D.  Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

• Câu 2:

   Cho hình vuông có cạnh bằng 2a, độ dài đường chéo của hình vuông là 

  • A. $a\sqrt{2}$
  • B. $2a\sqrt{2}$
  • C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
  • D. $\frac{3a}{\sqrt{2}}$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 79 trang 108 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 80 trang 108 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 81 trang 108 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 82 trang 108 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 83 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 84 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 85 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 86 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!