Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

• Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)
• Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):

• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

Lời giải:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

 Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)
Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)

Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).

  • A.  \(-\frac{9}{4}\)
  • B.  \(\frac{8}{3}\)
  • C.  \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
  • D.   \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

• Câu 2:

  Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).

  • A. z₁.z₂=0
  • B. z₁.z₂=1
  • C. z₁.z₂=2
  • D. z₁.z₂=3

• Câu 3:

  Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)

  • A.  \(S=0\)
  • B.  \(S=i\)
  • C.  \(S=2i\sqrt3\)
  • D.  \(S=1\)

• Câu 4:

  Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\)

  • A.  \({M}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)
  • B. \({M}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\)
  • C.  \({M}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\)
  • D. \({M}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 4.33 trang 207 SBT Toán 12

Bài tập 4.34 trang 207 SBT Toán 12

Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC

Bài tập 18 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 19 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC

Bài tập 22 trang 197 SGK Toán 12 NC

Bài tập 23 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 25 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.