Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.
Tóm tắt lý thuyết
2.1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
- \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
- \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
- \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
2.2. Nhận xét
- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):
- \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))
=
+
- \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
- \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)
- \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)
Lời giải:
- \(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
- \({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
- \({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
- \(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)
Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).
Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)
Ví dụ 3:
Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)
Lời giải:
Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:
\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)
\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)
Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)
Lời giải:
Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)
\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.
4. Luyện tập Bài 2 Chương 4 Toán 12
Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.
4.1 Trắc nghiệm về Cộng, trừ và nhân số phức
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo
- B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo
- C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\)
- D. Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
-
- A. m=1
- B. m=2
- C. m=-2
- D. \(m = \pm 1\)
-
Câu 3:
Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.
- A. -1
- B. -2
- C. 1
- D. 2
-
Câu 4:
Cho số phức \(z=2–3i\). Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\).
- A. \(\left| \omega \right| = 4\)
- B. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\)
- C. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
- D. \(\left| \omega \right| = 2\)
-
- A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
- B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
- C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
- D. \(z = - \frac{1}{2}i\)
-
- A. (2;3)
- B. (-2;-3)
- C. (2;-3)
- D. (-2;3)
Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Cộng, trừ và nhân số phức
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 5 trang 136 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.10 trang 201 SBT Toán 12
Bài tập 4.11 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.12 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.13 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.14 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.15 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.16 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.17 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.8 trang 201 SBT Toán 12
Bài tập 4.18 trang 202 SBT Toán 12
Bài tập 4.9 trang 201 SBT Toán 12
5. Hỏi đáp về Bài 2 Chương 4 Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.
