Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng quát nội dung chương III

Sơ đồ tư duy Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

1.2. Các dạng bài tập chương III

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập minh họa

 
 

Ví dụ 1: 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, ta luôn có:

a) 12+22+...+(n1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6   

b) 13+232+...+n3n=342n+34.3n

Hướng dẫn giải:

a) Bước 1: Với n=1 ta có:

VT=12=1,VP=1(1+1)(2.1+1)6=1VT=VP

đẳng thức cho đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho  đúng với n=k1, tức là:

12+22+...+(k1)2+k2=k(k+1)(2k+1)6   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh:

12+22+...+(k1)2+k2+(k+1)2=(k+1)(k+1)(2k+3)6  (2).

Thật vây:

VT(2)=[12+22+...+k2]+(k+1)2=do(1)k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2

                =(k+1)[2k2+k6+k+1]=(k+1)(2k2+7k+6)6

               =(k+1)(k+2)(2k+3)6=VP(2)

(2) đúng đẳng thức cho  đúng với mọi n1.

b) * Với n=1 ta có VT=1=VP đẳng thức cho đúng với n=1

* Giả sử đẳng thức cho đúng với n=k1, tức là:13+232+...+k3k=342k+34.3k   (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho  đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh

13+232+...+k3k+k+13k+1=342k+54.3k+1    (2).

Thật vậy:VT(2)=342k+34.3k+k+13k+1=342k+54.3k+1=VP(2)

(2) đúng đẳng thức cho đúng.

Ví dụ 2:

Cho dãy số (un):{u1=1,u2=2un+1=un+un1n2. Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: u1<u2<u3.

* Giả sử uk1<ukk2, ta chứng minh uk+1<uk. Thật vậy:

uk+1=uk+uk1>uk1+uk2=uk

Vậy (un) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un<4n, hơn nữa un>0

Nên dãy (un) là dãy bị chặn.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng :

a) Nếu phương trình x3ax2+bxc=0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab=2a3+27c

b) Nếu phương trình x3ax2+bxc=0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca3b3)=0

Hướng dẫn:

a) Giả sử phương trình  có ba nghiệm x1,x2,x3 lập thành CSC

Suy ra: x1+x3=2x2 (1)

Mặt khác: x3ax2+bxc=(xx1)(xx2)(xx3)

                      =x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)xx1x2x3

Suy ra x1+x2+x3=a  (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra 3x2=a hay x2=a3

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x2=a3, tức là:

(a3)3a(a3)2+b(a3)c=02a327+ba3c=09ab=2a3+27c

Ta có đpcm.

b) Giả sử ba nghiệm x1,x2,x3 lập thành CSN, suy ra x1x3=x22

Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2x3=cx23=cx2=c3

Hay phương trình đã cho có nghiệm x2=c3, tức là:

(c3)3a(c3)2+bc3c=0bc3=ac23c(ca3b3)=0

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 4:

a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tanA2;tanB2;

tanC2 lập thành cấp số cộng cosA;cosB;cosC lập thành cấp số cộng.

b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cotA2;cotB2;cotC2 lập thành cấp số cộng sinA;sinB;sinC lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: tanA2;tanB2;tanC2 lập thành cấp số cộng

tanA2+tanC2=2tanB2sin(A2+C2)cosA2cosC2=2sinB2cosB2

cos2B2=sinB2[cos(A2+C2)+cos(A2C2)]

1+cosB2=1cosB2+12[cosA+cosC]

cosB=cosA+cosC2cosA,cosB,cosC lập thành CSC.

b) Ta có: cotA2cotB2=cotB2cotC2

cosA2sinB2cosB2sinA2sinA2sinB2=cosB2sinC2cosC2sinB2sinC2sinB2

sinBA2cosB+A2=sinCB2.cosC+B2

sinBsinA=sinCsinBsinA+sinC=2sinB.

3. Luyện tập Bài 5 chương 3 giải tích 11

Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương III để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11

Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11

Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11

4. Hỏi đáp về bài 5 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em. 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?