Ôn tập chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Kiến thức cần nắm

Với mỗi góc $\alpha (0^o\le \alpha \le {180}^o)$, ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho $\widehat{MOx}=\alpha$. Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc $\alpha$, ta kí hiệu là $sin\alpha$

Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc $\alpha$, ta kí hiệu là $cos\alpha$.

Tỉ số  $\frac{y}{x}$ $(x\ne 0)$ được gọi là tan của góc $\alpha$, ta kí hiệu là $tan\alpha$

Tỉ số  $\frac{x}{y}$ $(y\ne 0)$ được gọi là côtan của góc $\alpha$, ta kí hiệu là $cot\alpha$

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và được xác định bởi công thức

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(x;y);\overrightarrow{b}(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

$cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}},\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0$

Trong tam giác ABC, gọi $Ab=c;AC=b;BC=a$, ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$

$b^2=a^2+c^2-2ac.cosB$

$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$

Từ đó, ta có hệ quả sau: 

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC$

$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

Và tương tự vậy...

$S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$

$S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA$

$S=\frac{abc}{4R}$

$S=pr$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Bài tập trọng tâm

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oij, cho A(2;3), B(4;1). Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.

Hướng dẫn:

Bằng định lí Pytago, ta dễ dàng tính được $OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

$OB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$

$AB=2\sqrt{2}$

Vậy chu vi tam giác ABC là:

$P=AB+AC+BC=\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}\approx 10,56$

Khi có 3 cạnh của tam giác ABC, ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích tam giác bằng Hê rông.

Cụ thể là: Gọi p là nửa chu vi của tam giác

$p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}}{2}$

Khi đó, diện tích tam giác bằng:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=5$

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho đúng thứ tự C, D, E, B và chia góc A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ADE.

Hướng dẫn:

Ta có hình vẽ sau:

Dễ thấy rằng $\widehat{BAC}$ được chia thành ba góc bằng nhau nên $\widehat{DAE}=\frac{{90}^o}{3}={30}^o$

Xét hai tam giác CAD và BAE có:

$\{\begin{array}{c}AB=AC=a\\ \widehat{CAD}=\widehat{EAB}={30}^o\\ \widehat{ACD}=\widehat{ABE}={45}^o\end{array}$

Vậy, $\mathrm{\Delta }CAD=\mathrm{\Delta }BAE(g.c.g)$

$\Rightarrow AD=AE$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE$ cân tại A.

$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{{180}^o-{30}^o}{2}={75}^o$

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ lớn các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 13, 16 và G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính độ lớn của đoạn AG.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến từ đỉnh A trong tam giác ABC, ta có:

$AD=\sqrt{\frac{{13}^2+{16}^2}{2}-\frac{{10}^2}{4}}=\frac{5\sqrt{30}}{2}$

Mặc khác, theo tính chất trọng tâm, ta có:

$AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{5\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt{30}}{3}$

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và diện tích S. Nếu tăng a lên 2 lần, tăng b lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích mới sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó, hãy chia tỷ lệ tam giác mới bằng đúng bấy nhiêu lần diện tích tam giác cũ, nêu rõ cách chia.

Hướng dẫn:

Ta có, diện tích S của tam giác ABC được tính bởi công thức:

$S=\frac{1}{2}absinC$

Mà giá trị của góc C không thay đổi

Nên khi a tăng 2 lần, b tăng 3 lần, ta nhận được tam giác mới có diện tích bằng 6 lần diện tích của tam giác ban đầu.

Gọi tam giác được tăng lên theo kích thước mới là tam giác EFC.

Theo đề, ta có: BF=BC

AC=AD=DE

Cách chia như sau:

Nối A với F ta có được $d{t}_{ABF}=S$

Nối F với D, ta dễ thấy rằng $d{t}_{EDF}=d{t}_{ADF}=2S$

Gọi G là trung điểm của DF

$\Rightarrow d{t}_{EGF}=d{t}_{EDG}=d{t}_{AGF}=d{t}_{ADG}=S$

Vậy ta có 6 tam giác có diện tích bằng nhau là các tam giác nhỏ như trên hình.

Ở lớp dưới, chúng ta đã biết các giá trị của sin, côsin, tan hay côtan của một góc nhọn x nào đó, vậy lên chương trình cấp THPT, có thể bao gồm góc tù hay bất kì một góc nào đó cho trước độ lớn hay không? Chúng ta cùng đi vào bài đầu tiên của chương 2 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Ôn tập chương II để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tam giác ABC có b=7, c=5 và $cosA=\frac{3}{5}$. Diện tích tam giác ABC là:

  • A. $14$
  • B. $15$
  • C. $16$
  • D. $17$

• Câu 2:

  Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:

  

  ​

  • A. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
  • B. $\frac{a\sqrt{3}}{5}$
  • C. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
  • D. $\frac{a\sqrt{3}}{7}$

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài cạnh a lên 3 lần, tăng độ dài cạnh b lên 2 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích tam giác mới đc tạo nên là:

   

  • A. 3S
  • B. 4S
  • C. 5S
  • D. 6S

• Câu 4:

  Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng?

  • A. 60
  • B. 90
  • C. 150
  • D. 120

• Câu 5:

  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm $A(-1;1),B(2;4),C(6;0)$

  Tam giác ABC là tam giác gì?

  • A. Tam giác nhọn
  • B. Tam giác vuông
  • C. Tam giác tù
  • D. Tam giác đều

• Câu 6:

   Cho M là điểm trên nửa đường tròn lượng giác sao cho góc xOM = 150^o. Tọa độ của điểm M là

  • A. $\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
  • B. $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$
  • C. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$
  • D. $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$

• Câu 7:

  Cho góc nhọn α. Giá trị của biểu thức P= sin²(90^o - α) + sin²α là

  • A. 1
  • B. 2
  • C.  2sin²(90^o-α)  
  • D. 2sin²α

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.52 trang 104 SBT Hình học 10

Bài tập 2.53 trang 104 SBT Hình học 10

Bài tập 2.54 trang 104 SBT Hình học 10

Bài tập 2.55 trang 104 SBT Hình học 10

Bài tập 2.56 trang 104 SBT Hình học 10

Bài tập 2.57 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.58 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.59 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.60 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.61 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.62 trang 105 SBT Hình học 10

Bài tập 2.63 trang 105 SBT Hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.