Lý thuyết và các dạng toán điển hình về Giá trị lượng giác của một cung Toán 10

1. Đơn vị đo góc và cung tròn

a. Độ

Đường tròn bán kính R có độ dài \(2\pi R\) và có số đo 360° chia đường tròn thành 360 phần, 1 phần có độ dài \(\frac{2\pi R}{360{}^\circ }=\frac{\pi R}{180{}^\circ }\) và có số đo \(1{}^\circ \) (góc ở tâm chắn cung \(\frac{\pi R}{180{}^\circ }\)).

Vậy cung \(1{}^\circ \) có độ dài \(\frac{\pi R}{180}\); cung \(a{}^\circ \) có độ dài \(\frac{a\pi R}{180}\).

b. Radian

- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).

- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là 1 rad)

Nhận xét:

+ Cung độ dài R có số đo 1 rad. + Đường tròn có độ dài \(2\pi R\) có số đo \(2\pi \) rad. + Cung có số độ dài l có số đo \(\alpha =\frac{1}{R}\) rad. + Cung có số đo \(\alpha \) rad có độ dài \(l=\alpha .R\)

c. Liên hệ giữ độ và rad

\(360{}^\circ =2\pi \) (số đo đường tròn bán kính R)

\(\Rightarrow 180{}^\circ =\pi  rad \Rightarrow 1\text{ rad }=\frac{180{}^\circ }{\pi }=57{}^\circ 17'45''\)

\(1{}^\circ =\frac{\pi }{180}\text{ rad }=0,0175\text{ rad}\)

Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:

Độ	\(30{}^\circ \)	\(45{}^\circ \)	\(60{}^\circ \)	\(90{}^\circ \)	\(120{}^\circ \)	\(135{}^\circ \)	\(150{}^\circ \)	\(180{}^\circ \)
Rad	\(\frac{\pi }{6}\)	\(\frac{\pi }{4}\)	\(\frac{\pi }{3}\)	\(\frac{\pi }{2}\)	\(\frac{2\pi }{3}\)	\(\frac{3\pi }{4}\)	\(\frac{5\pi }{6}\)	\(\pi \)

 

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R=10cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 5cm.       A. 1                          B. 3                          C. 2                       D. 0,5

Lời giải

Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có: \(\alpha =\frac{l}{R}=\frac{5}{10}=0,5\left( \text{rad} \right)\)

Đáp án D.

Ví dụ 2: Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số đo cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:       A. \(360{}^\circ \) và \(2\pi \)                     B. \(360{}^\circ \) và \(\pi \)     C. \(\frac{1080{}^\circ }{\pi }\) và 6      D. \(1080{}^\circ \) và \(6\pi \)

Lời giải

ABCDEF là lục giác đều \(\Rightarrow \widehat{AOB}=\frac{360{}^\circ }{6}=60{}^\circ \)

\(OA=OB\Rightarrow \Delta AOB\) đều \(\Rightarrow AB=OA=R\Rightarrow \) Chu vi ABCDEF là 6R

\(\Rightarrow \) Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad

6 rad \(=6.\frac{180{}^\circ }{\pi }=\frac{1080{}^\circ }{\pi }\)

Đáp án C.

2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng

a. Đường tròn định hướng

- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là dương, chiều ngược lại là chiều âm.

- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm.

b. Cung lượng giác

- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,\)

c. Góc lượng giác

- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.

Kí hiệu \(\left( OA,OB \right)\).

- Số đo góc lượng giác \(\left( OA,OB \right)\) là số đo của cung lượng giác \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,\).

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,\). Nếu OM quay theo chiều dương từ OA tới OB tạo ra góc \(\alpha \) thì cung \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,\) có số đo là \(\alpha +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Kí hiệu: sđ \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,\).

Vậy:

 Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,=\alpha +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\,=-\alpha +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

d. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1, cắt Ox tại \(A\left( 1;0 \right)\) và \(A'\left( -1;0 \right)\); cắt Oy tại \(B\left( 0,1 \right)\) và \(B'\left( 0,1 \right)\).

Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.

e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

- Để biểu diễn cung \(\alpha \), ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\,=\alpha .\)

+ Nếu \(\alpha <2\pi \left( \alpha <360{}^\circ  \right)\), ta chọn điểm M sao cho \(\widehat{AOM}=\alpha \) (theo chiều dương).

+ Nếu \(\alpha <2\pi \), ta viết \(\alpha =\beta +k2\pi \) và ta chọn điểm M sao cho \(\widehat{AOM}=\beta \).

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc đường tròn sao cho \(\widehat{AOM}=\frac{\pi }{6}\) (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\,\) có thể là giá trị nào sau đây? A. \(\frac{5\pi }{6}\) B. \(\frac{\pi }{6}\) C. \(\frac{-13\pi }{6}\) D. \(\frac{-11\pi }{6}\)

Lời giải

Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và \(\widehat{AOM}=30{}^\circ \) nên đây là góc tính theo chiều âm

\(\Rightarrow \widehat{AOM}=\alpha \) theo chiều dương là \(\alpha =2\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

\(\alpha =\frac{11\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

\(\Rightarrow \) sđ \(\overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\,=\frac{11\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vì \(k\in \mathbb{Z}\) nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k=-2).

Đáp án C.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1: Đổi số đo cung sau sang radian: \(70{}^\circ \) (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 2,443 B. 1,222 C. 2,943 D. 1,412

Lời giải

Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian

\(a{}^\circ =\frac{a}{180}\pi \left( \text{rad} \right)\Rightarrow 70{}^\circ =\frac{70}{180}\pi \left( \text{rad} \right)=1,222\left( \text{rad} \right)\)

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

- Chuyển sang chế độ Radian: 

- Sau đó ấn: 

Đáp án B.

Bài 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: \(\frac{5}{6}\text{rad}\). A. \(47{}^\circ 44'47''\) B. \(37{}^\circ 33'37''\) C. \(150{}^\circ \) D. \(30{}^\circ \)

Lời giải

Cách 1: Dùng công thức: \(a\text{ rad = }\left( a.\frac{180}{\pi } \right){}^\circ \Rightarrow \frac{5}{6}\text{rad=}\left( \frac{5}{6}\frac{180}{\pi } \right){}^\circ \)

Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.

Nhập biểu thức \(\frac{5.180}{6\pi }\) vào máy tính, sau đó ấn  ta được kết quả là A.

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

- Chuyển sang chế độ: 

Sau đó ấn: 

Đáp án A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và các dạng toán điển hình về Giá trị lượng giác của một cung Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!