Tóm tắt lý thuyết và bài tập về vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng với (E)

1. Vị trí tương đối của một điểm với (E)

Cho $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a, b, c > 0 và điểm $M(x_0;y_0)$

Xét biểu thức $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=T$

+ Nếu $T>1\Rightarrow M$ nằm ngoài (E)

+ Nếu $T=1\Rightarrow M$ nằm trên (E) (hay $M\in \left(E\right)$)

+ Nếu $T<1\Rightarrow M$ nằm trong (E)

2. Vị trí tương đối của đường thẳng với (E)

Cho $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a, b, c > 0 và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:Ax+By+C=0$

Xét hệ $\{\begin{array}{rl}& Ax+By+C=0\left(1\right)\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(2\right)\end{array}$

Rút y từ (1) thế vào (2) $\Rightarrow A_1{x}^2+B_{1}y+C_1=0\left(3\right)$

+ Nếu (3) vô nghiệm $\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ và (E) không có điểm chung

+ Nếu (3) có nghiệm kép $\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ và (E) tiếp xúc nhau.

+ Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ và (E) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ: Cho $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường tròn $\left(C_m\right):x^2+y^2-2(m-1)x+2y-1=0$. Số giá trị m nguyên để đường tròn $\left(C_m\right)$ có tâm nằm hoàn toàn tròn (E) là: A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

Lời giải

(C) có tâm là $I(m-1;-1)$. Tâm I nằm trong (E)

\(\Rightarrow \frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{25}+\frac{{{\left( -1 \right)}^{2}}}{9}<1\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}<\frac{8}{9}.25\Leftrightarrow 1-\frac{10\sqrt{2}}{3}

$\Rightarrow$ có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn

Đáp án C.

Ví dụ: Cho $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và điểm $I(1;2)$ đường thẳng d đi qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ .Khi đó giá trị $\frac{b}{a}$  là: A. $\frac{32}{9}$ B. Không tồn tại C. $-\frac{9}{32}$ D. $\frac{9}{32}$

Lời giải

Đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow{u}=(a;b)\Rightarrow \frac{b}{a}=k$ là hệ số góc của đường thẳng d

$\Rightarrow$ d qua I và có hệ số góc k $\Rightarrow d:y=k(x-1)+2\left(1\right)$

Tọa độ M, N là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{rl}& y=k(x-1)+2\left(1\right)\\ & \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\left(2\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ thế (1) vào (2) $\Rightarrow 9x^2+16{[k(x-1)+2]}^2=144$

$\iff (16k^2+9)x^2+16(4k-2k^2)+16k^2-64k-80=0\left(3\right)$

Nhận thấy qua I luôn có đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt, (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với $\mathrm{\forall }k$ là hoành độ của M, N.

Mà M, N, I thẳng hàng (cùng thuộc d) $\Rightarrow$ I là trung điểm của MN

$\Rightarrow \frac{x_1+x_2}{2}=x_1\iff \frac{-16(4k-2k^2)}{2(16k^2+9)}=1\iff k=-\frac{9}{32}$

Đáp án C.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x+y+c=0$. Với giá trị nào của c thi $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của (E) ? A. 5 B. $\pm 25$ C. $\pm 5$ D. $-5$

Lời giải

$\left(E\right)$ có $a^2=16;b^2=9$

Để $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của (E) thì ${16.1}^2+{9.1}^2=c^2\Rightarrow c^2=25\Rightarrow c=\pm 5$

Đáp án C.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$. Số đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt có tọa độ nguyên là: A. 9 B. 18 C. 120 D. 1

Lời giải

Giả sử $M(x_0;y_0)\in \left(E\right)$ có tọa độ nguyên

$\Rightarrow \frac{x_0^2}{32}+\frac{y_0^2}{16}=1\iff x_0^2=32(1-\frac{y_0^2}{16})=2(16-y_0^2)\ge 0\Rightarrow 16-y_0^2\ge 0\Rightarrow y_0^2=16$

Mà $y_0\in \mathbb{Z}\Rightarrow y_0\in \{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$

Với $y_0=4\Rightarrow x_0=0\Rightarrow M_1(0;4)$ (nhận)

Với $y_0=-4\Rightarrow x_0=0\Rightarrow M_2(0;-4)$ (nhận)

Với $y_0=3\Rightarrow x_0=\pm \sqrt{34}\notin \mathbb{Z}$

Với $y_0=-3\Rightarrow x_0=\pm \sqrt{34}\notin \mathbb{Z}$

…

Với $y_0=0\Rightarrow x_0=\pm \sqrt{32}\notin \mathbb{Z}$

Vậy chỉ có duy nhất môtj đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm có tọa độ nguyên.

Đáp án D.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left(E\right):4x^2+9y^2=36$ và điểm $M(1;-2)$. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là tring điểm của AB. A. 2x-9y-20=0 B. 2x-y-20=0 C. 2x+9y-20=0 D. 9x-2y-13=0

Lời giải

Giả sử d đi qua $M(1;-2)$ và có hệ số góc k

$\Rightarrow d:y=k(x-1)-2\iff d:y=kx-k-2$

Xét hệ tọa độ giao điểm $\{\begin{array}{rl}& 4x^2+9y^2=36\\ & y=kx-k-2\end{array}\Rightarrow 4x^2+9{(kx-k-2)}^2=36$

$\Rightarrow 4x^2+9(k^2{x}^2+k^2+4-2k^{2}x-4kx+4k)-36=0$

$\iff (4+9k^2)x^2-2k(9k+18)x+(9k^2+36k)=0(\ast )$

Để (E) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff k^2{(9k+18)}^2-(4+9k^2)(9k^2+36k)>0$

$\iff k^2(81k^2+324k+324)-(36k^2+144k+81k^4+324k^3)>0$

\(\Leftrightarrow 288{{k}^{2}}-144k>0\Leftrightarrow 0

Với k thỏa mãn điều kiện (1) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$

Khi đó theo Vi-et ta có: $\{\begin{array}{rl}& x_A+x_B=\frac{18k^2+36k}{9k^2+4}\\ & x_A{x}_B=\frac{9k^2+36k}{4+9k^2}\end{array}$

Vì M là trung điểm của AB nên $x_A+x_B=2x_M$

$\iff \frac{18k^2+36k}{9k^2+4}=2.1=2\iff 18k^2+36k=18k^2+8\iff k=\frac{2}{9}$ (TMĐK (1))

Với $k=\frac{2}{9}\Rightarrow d:y=\frac{2}{9}x-\frac{20}{9}\Rightarrow d:2x-9y-20=0$

Đáp án A.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x-2\sqrt{2}y=0$ cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt B và C. Điểm $A\in \left(E\right)$ sao cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có diện tích lớn nhất. Tính giá trị của $P=x_A^2-y_A^2$. A. 2 B. 0 C. 6 D. –6

Lời giải

Phương trình tham số của $\left(E\right):\{\begin{array}{rl}& x=4\sqrt{2}\sin t\\ & y=2\cos t\end{array}t\in [0;2\pi ]$

Vì $A\in \left(E\right)$ nên $A(4\sqrt{2}\sin t;2\cos t)$

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A;\mathrm{\Delta })$

Vì BC không đổi nên $S_{\mathrm{\Delta }ABC}max\iff d(A;\mathrm{\Delta })max$

Có $d(A;\mathrm{\Delta })=\frac{|4\sqrt{2}\sin t-4\sqrt{2}\cos t|}{\sqrt{1+{(-2\sqrt{2})}^2}}=\frac{4\sqrt{2}|\sin t-\cos t|}{3}$

$=\frac{4\sqrt{2}.\sqrt{2}|\sin (t-\frac{\pi }{4})|}{3}=\frac{8|\sin (t-\frac{\pi }{4})|}{3}\le \frac{8}{3}$

$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}max\iff |\sin (t-\frac{\pi }{4})|=1\iff [\begin{array}{rl}& \sin (t-\frac{\pi }{4})=1\\ & \sin (t-\frac{\pi }{4})=-1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{rl}& t-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & t-\frac{\pi }{4}=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{rl}& t=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & t=\frac{-\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy $t\in [0;2\pi ]\Rightarrow [\begin{array}{rl}& t=\frac{3\pi }{4}\\ & t=\frac{-\pi }{4}\end{array}$

- Với $t=\frac{3\pi }{4}\Rightarrow A(2;-\sqrt{2})\Rightarrow P=x_A^2-y_A^2=2^2-{(-\sqrt{2})}^2=2$

- Với $t=-\frac{3\pi }{4}\Rightarrow A(-2;\sqrt{2})\Rightarrow P=x_A^2-y_A^2={(-2)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$

Đáp án A.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2=8$. Phương trình nào là phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông? A. $\frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{16}=1$ B. $\frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{\frac{16}{3}}=1$ C. $\frac{x^2}{16}-\frac{3y^2}{\frac{16}{3}}=1$ D. $\frac{x^2}{16}-\frac{3y^2}{16}=1$

Lời giải

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

(E) có độ dài trục lớn bằng 8 $\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4$

Do (E) và (C) cùng nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và các giao điểm là các đỉnh của hình vuông nên (E) và (C) có 1 giao điểm với tọa độ dạng $A(t;t)$ với $t>0$

Vì $A\in \left(C\right)\Rightarrow t^2+t^2=8\Rightarrow t=2$

Vì $A(2;2)\in \left(E\right)\iff \frac{4}{{16}^2}+\frac{4}{b^2}=1\iff b^2=\frac{16}{3}$

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{16}+\frac{3y^2}{\frac{16}{3}}=1$

Đáp án B.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập về vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng với (E) có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!