Các dạng bài toán điển hình về Phương trình đường thẳng Toán 10

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-2;3), phương trình đường trung tuyến từ B, C lần lượt là $d_1:2x+7y-30=0$ và $d_2:7x+5y-14=0$. Phương trình đường thẳng AB có dạng ax + by + c = 0. Khi đó giá trị biểu thức Q = a + bc bằng:      A. 34                   B. –32                       C. – 22                     D.  44

Lời giải

+ $A\left(-2;3\right)\notin d_1;d_2$

+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ

$\{\begin{array}{l}2x+7y=30\\ 7x+5y=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{14}{3}\end{array}\Rightarrow G\left(\frac{-4}{3};\frac{14}{3}\right)$

+ $B\in d_1\Rightarrow B\left(b;\frac{-2b+30}{7}\right);C\in d_2\Rightarrow C\left(\frac{14-5c}{7};c\right)$

+ Ta có: $\{\begin{array}{l}-2+b+\frac{14-5c}{7}=-4\\ \frac{-2b+30}{7}+3+c=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=1\\ c=7\end{array}\Rightarrow B\left(1;4\right);C\left(-3;7\right)$

+ AB: $\{\begin{array}{l}quaA\left(-2;3\right)\\ quaB\left(1;4\right)\end{array}\Rightarrow AB:\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{1}\iff x-3y+11=0$

Khi đó: $a=1;b=-3;c=11\Rightarrow Q=1+\left(-3\right).11=-32$

Đáp án B.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao qua A lần lượt là: $d_1:x+y-7=0$ và $d_2:5x+3y-29=0$. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng AC?      A. P(3;2)           B. Q(2;-7)             C. R(2018;2017)          D. S(1056;1055)

Lời giải

+ $A=d_1\cap d_2\Rightarrow A\left(4;3\right)$

+ M(-2;1) trung điểm AB $\Rightarrow B\left(-8;-1\right)$

+ $BC\mathrm{\perp }{d}_2\Rightarrow BC:-3x+5y+c=0$

Mà $B\left(-8;-1\right)\in BC\Rightarrow C=-19\Rightarrow BC:-3x+5y-19=0$

+ $I=d_1\cap BC\Rightarrow I\left(2;5\right)$ là trung điểm BC $\Rightarrow C\left(12;11\right)$

+ $AC\{\begin{array}{l}quaA\left(4;3\right)\\ quaC\left(12;11\right)\end{array}\Rightarrow AC:\frac{x-4}{8}=\frac{y-3}{8}\iff x-y-1=0$

Đáp án B.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(-2;1). Đường phân giác góc A và đường trung tuyến AM lần lượt là $d_1:2x+y-1=0$ và $d_2:x+y-2=0$. Tìm tọa độ điểm B.      A. $B\left(\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$        B. $B\left(\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right)$               C. $B\left(\frac{7}{3};\frac{2}{3}\right)$             D. $B\left(\frac{-4}{3};\frac{13}{3}\right)$

Lời giải

+ $A=d_1\cap d_2\Rightarrow A\left(-1;3\right)$

+ C’ đối xứng với C qua d₁

+ $C{C}^{\prime }\{\begin{array}{l}quaC\left(-2;1\right)\\ \mathrm{\perp }{d}_1:2x+y-1=0\end{array}\Rightarrow C{C}^{\prime }:-x+2y-4=0$

+ $H=d_1\cap C{C}^{\prime }\Rightarrow H\left(\frac{-2}{5};\frac{9}{5}\right)$ là trung điểm CC’ $\Rightarrow C^{\prime }\left(\frac{6}{3};\frac{13}{5}\right)$

+ $AB:\{\begin{array}{l}quaA\left(-1;3\right)\\ qua{C}^{\prime }\left(\frac{6}{5};\frac{13}{5}\right)\Rightarrow AB:2x+11y-31=0\end{array}$

+ $B\in AB\Rightarrow B\left(\frac{31-11b}{2};b\right)$

$M\in d_2\Rightarrow M\left(m;2-m\right)$

+ M là trung điểm BC $\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{31-11b}{2}-2=2m\\ b+1=4-2m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\frac{7}{3}\\ m=\frac{1}{3}\end{array}\Rightarrow B\left(\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$

Đáp án A.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;2). Đường trung tuyến BM và phân giác trong CI có phương trình lần lượt là $d_1:x-y+2=0$ và $d_2:2x+y-3=0$. Tìm tọa độ điểm B(a;-b). Tính P = a + b.      A. $\frac{31}{6}$                  B. –2                         C. $-\frac{31}{6}$                    D.  2

Lời giải

+ A’ đối xứng với A qua $d_2,A{A}^{\prime }\cap d_2=K$

+ $A{A}^{\prime }\{\begin{array}{l}quaA\left(-1;2\right)\\ \mathrm{\perp }{d}_2:2x+y-3=0\end{array}\Rightarrow A{A}^{\prime }:-x+2y-5=0$

+ $K=A{A}^{\prime }\cap d_2\Rightarrow K\left(\frac{1}{5};\frac{13}{5}\right)\Rightarrow A^{\prime }\left(\frac{7}{5};\frac{16}{5}\right)$

+ $M\in d_1\Rightarrow M\left(a;a+2\right)$

$C\in d_2\Rightarrow C\left(b;3-2b\right)$

M là trung điểm AC có: $\{\begin{array}{l}2a-b=-1\\ 2a+4-3+2b=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{-1}{6}\\ b=\frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}M\left(\frac{-1}{6};\frac{11}{6}\right)\\ C\left(\frac{2}{3};\frac{3}{5}\right)\end{array}$

+ $BC\{\begin{array}{l}qua{A}^{\prime }\left(\frac{7}{5};\frac{16}{5}\right)\\ quaC\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)\end{array}\Rightarrow BC:23x-11y+3=0$

+ $B=BC\cap d_1\Rightarrow B\left(\frac{19}{12};\frac{43}{12}\right)\Rightarrow a=\frac{19}{12};b=\frac{-43}{12}\Rightarrow P=-2$

Đáp án B.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, có A(2;-1). Đường phân giác trong góc B và C có phương trình lần lượt là $d_1:x-2y+1=0$ và $d_2:x+y+3=0$. Phương trình đường thẳng đi qua B và song song với AC là đường thẳng:      A. $-4x+y-\frac{9}{7}=0$                               B. $-4x+y+\frac{9}{7}=0$       C. 7x - 28y + 9 = 0                              D. x - 4y + 9 = 0

Lời giải

+ D đối xứng với A qua $d_1:F=AD\cap d_1$

+ E đối xứng với A qua $d_2:I=AE\cap d_2$

+ $AD\{\begin{array}{l}quaA\left(2;-1\right)\\ \mathrm{\perp }{d}_1:x-2y+1=0\Rightarrow AD:2x+y-3=0\end{array}$

$F=AD\cap d_1\Rightarrow P\left(1;1\right)$ là trung điểm AD $\Rightarrow D\left(0;3\right)$

+ $AE\{\begin{array}{l}quaA\left(2;-1\right)\\ \mathrm{\perp }{d}_2:x+y+3=0\end{array}\Rightarrow AE:-x+y+3=0$

$I=AE\cap d_2\Rightarrow I\left(0;-3\right)$ là trung điểm AE $\Rightarrow E\left(-2;-5\right)$

+ $BC\{\begin{array}{l}quaD\left(0;3\right)\\ quaE\left(-2;-5\right)\end{array}\Rightarrow BC:4x-y+3=0$

$B=BC\cap d_1\Rightarrow B\left(\frac{-5}{7};\frac{1}{7}\right);C=d_2\cap BC\Rightarrow C\left(\frac{-6}{5};\frac{-9}{5}\right)$

+ $AC\{\begin{array}{l}quaA\left(2;-1\right)\\ quaC\left(\frac{-6}{5};\frac{-9}{5}\right)\end{array}\Rightarrow AC:x-4y-6=0$

+ $\mathrm{\Delta }//AC\Rightarrow \mathrm{\Delta }:x-4y+c=0\left(c\ne -6\right)$

$B\left(\frac{-5}{7};\frac{1}{7}\right)\in \mathrm{\Delta }\Rightarrow c=\frac{9}{7}\left(t/m\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }:7x-28y+9=0$

Đáp án C.

...

---Để xem tiếp nội dung bài 6 đến bài 9, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh $A\left(-1;-3\right);H\left(1;-1\right)$ và I(2;-2) lần lượt là trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm phát biểu sai? A. Tọa độ trung điểm của BC là M(3;1). B. Chân đường cao của  hạ từ A là K(2;0). C. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$ D. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{5}{3};-\frac{5}{3}\right)$

Lời giải

+ Gọi M(x;y) mà $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2=2\left(x-2\right)\\ 2=2\left(y+2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\Rightarrow M\left(3;-1\right)\Rightarrow$ A đúng

+ Gọi D là giao điểm thứ 2 của AH với đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.

(C) có tâm I(2;-2), bán kính $IA=\sqrt{10}\Rightarrow \left(C\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10$

AH:x - y - 2 = 0

Xét hệ $\{\begin{array}{l}{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10\\ x-y-2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-3\end{array}\end{array}\Rightarrow D\left(3;1\right)doA\left(-1;-3\right)$

Mà K là trung điểm của HD $\Rightarrow K\left(2;0\right)\Rightarrow$ B đúng

+ Ta có: $\overrightarrow{HG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HI}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_G-1=\frac{2}{3}\left(2-1\right)\\ y_G+1=\frac{2}{3}\left(-2+1\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{5}{3}\\ y_G=-\frac{5}{3}\end{array}\Rightarrow G\left(\frac{5}{3};-\frac{5}{3}\right)\Rightarrow$ D đúng.

Đáp án C.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho  có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0), biết C(a;b) với a > 0. Khi đó giá trị a + b là:      A. $1+\sqrt{65}$          B. $1-\sqrt{65}$                C. $5+\sqrt{65}$              D. $5-\sqrt{65}$

Lời giải

+ Ta có $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$ với M(x;y) là trung điểm BC.

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}0=2\left(x+2\right)\\ 6=2y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\Rightarrow M\left(-2;3\right)$

+ BC đi qua M(-2;3) và vuông góc với MI ⇒ vecto pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=\left(0;-3\right)$

⇒ BC:y = 3

+ Gọi $C\in BC\Rightarrow C\left(t;3\right)$ (t > 0 tham số)

Mà $CI=AI\Rightarrow CI=\sqrt{74}\Rightarrow {\left(1+2\right)}^2+3^2=74$

$\iff [\begin{array}{l}t=-2+\sqrt{65}\left(tm\right)\\ t=-2-\sqrt{65}\left(loai\right)\end{array}\Rightarrow C\left(-2+\sqrt{65};3\right)\Rightarrow a+b=1+\sqrt{65}$

Đáp án A.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$ ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ chân đường cao hạ từ B và C lần lượt là E(0;2) và F(1;2). Khi đó tọa độ đỉnh A(a;b) với b < 0 thì $a^2-2b$ là:      A. – 9                   B. 9                           C. –11                      D.  11

Lời giải

Tâm đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC là I(1;1), bán kính R = 5

Vì $AI\mathrm{\perp }\mathrm{E}\mathrm{F}\Rightarrow$ AI qua I(1;1) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{EF}=\left(1;0\right)\Rightarrow AI:x=1$

Mà $A=\left(C\right)\cap AI\Rightarrow$ tạo độ A là ngiệm của hệ: $\{\begin{array}{l}x=1\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=1\\ y=6\end{array}\left(ktm\right)\\ \{\begin{array}{c}x=1\\ y=-4\end{array}\left(tm\right)\end{array}\Rightarrow A\left(1;-4\right)\Rightarrow a^2-2b=1+8=9$

Đáp án B.

...

---Để xem tiếp nội dung bài 4 đến bài 11, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=13$ và điểm M(-5;-3). Tìm trên (C) điểm N(a;b) sao cho khoảng cách từ N đến M là lớn nhất. Khi đó a + b là:      A. 3                      B. –3                         C. 7                          D. –7

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(1;1), bán kính $R=\sqrt{13}$

$IM=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}>R\Rightarrow$ M nằm ngoài (C)

Đường thẳng d đi qua I(1;1) và M(-5;-3) có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+2t\end{array}$

Tọa độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+2t\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=13\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+2t\\ 9t^2+4t^2=13\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=4\\ y=3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=-2\\ y=-1\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow d\cap \left(C\right)$ tại 2 điểm $N_1\left(4;3\right)$ và $N_2\left(-2;-1\right)$

Ta có: $M{N}_1>M{N}_2\Rightarrow \mathrm{\forall }N\in \left(C\right)$ thì $M{N}_2\le MN\le M{N}_1$

⇒ MN đạt giá trị lớn nhất $\iff N\equiv N_1\left(4;3\right)\Rightarrow a+b=7$

Đáp án C.

Lưu ý: Với bài này điểm $N_2\left(-2;-1\right)$ là điểm thuộc (C) sao cho khoảng cách đến M là nhỏ nhất.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:x + y + 2 = 0 và các điểm $A\left(2;1\right),B\left(1;3\right)$. Tìm điểm $M\in d$ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó đường tròn tâm O đi qua M và có bán kính là:      A. $R=\sqrt{2}$          B. $R=\frac{5\sqrt{10}}{11}$           C. $R=\sqrt{130}$           D. $R=\frac{244}{121}$

Lời giải

Ta có: $\left(2+1+2\right)\left(1+3+2\right)>0\Rightarrow$ A, B cùng một phía với đường thẳng d.

Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng d  ⇒ MA = MA'

$\Rightarrow MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$ (không đổi)

$\Rightarrow MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $A^{\prime }B\iff M=A^{\prime }B\cap d$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua A và vuông góc với d $\Rightarrow \mathrm{\Delta }:x-y-1=0$

Xét hệ $\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ x+y+2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\Rightarrow I\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$

A’ đối xứng với A qua d ⇔ I là trung điểm của AA’ $\Rightarrow A^{\prime }\left(-3;-4\right)$

$\Rightarrow A^{\prime }B:7x-4y+5=0$

Xét hệ $\{\begin{array}{l}7x-4y+5=0\\ x+y+2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\frac{13}{11}\\ x=-\frac{9}{11}\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{13}{11};-\frac{9}{11}\right)\Rightarrow OM=R=\frac{5\sqrt{10}}{11}$

Đáp án B.

Lưu ý: Nếu A, B không cùng phía với đường thẳng d

$\Rightarrow MA+MB\ge AB$ (không đổi)

⇒ MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là AB $\iff M=AB\cap d$

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:2x - y + 3 = 0 và hai điểm $A\left(2;-1\right),B\left(0;2\right)$. Khi đó điểm M thuộc d sao cho |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất có khoảng cách đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x-4y+5=0$ là:      A. $\frac{39}{7}$                  B. $\frac{39}{35}$                       C. $\frac{10}{9}$                       D. $\frac{39}{5}$

Lời giải

Xét $\left[2.2-\left(-1\right)+3\right]\left(2.0-2+3\right)>0\Rightarrow$ A, B nằm cùng phía với đường thẳng d

Với đường thẳng d $\Rightarrow \left|MA-MB\right|\le AB\iff {\left|MA-MB\right|}_{max}=AB\iff M=AB\cap d$

Đường thẳng AB có phương trình:

$\frac{x-2}{0-2}-\frac{y+1}{2+1}\iff 3x-6=-2y-2\iff 3c+2y-4=0$

Xét hệ $\{\begin{array}{l}3x+2y-4=0\\ 2x-y+3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{2}{7}\\ y=\frac{17}{7}\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{2}{7};\frac{17}{7}\right)\Rightarrow d_{\left(M;\mathrm{\Delta }\right)}=\frac{39}{35}$

Đáp án B.

Lưu ý: Nếu A, B khác phía đối xứng với đường thẳng d, lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

$\Rightarrow \left|MA-MB\right|=\left|M{A}^{\prime }-MB\right|\le A^{\prime }B$ (không đổi)

${\left|MA-MB\right|}_{max}=A^{\prime }B\iff M=A^{\prime }B\cap d$

...

---Để xem tiếp nội dung bài 4 đến bài 8, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Các dạng bài toán điển hình về Phương trình đường thẳng Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!