Lý thuyết và bài tập về Phương trình tham số của đường thẳng Toán 10

Cho đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};y{}_{0} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)\)

\(\Rightarrow \forall {M}'\left( x;y \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{M{M}'}\) và \(\overrightarrow{u}\) cùng phương

\(\Rightarrow \overrightarrow{M{M}'}=t\overrightarrow{u}\) ( t là tham số)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-x{}_{0}=ta \\ & y-{{y}_{0}}=tb \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ \end{align} \right.\)(2)

\(\Rightarrow \) Phương trình (2) gọi là phương trình tham số của đường thẳng d.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tham số của đường thảng d đi qua A (2;-3) và song song với đường thẳng \(\Delta :3x-4y+5=0\) là A. \(\left\{ \begin{align} & x=2+4t \\ & y=-3+3t \\ \end{align} \right..\) B. 3x – 4y – 18 =0. C. \(y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}.\) D. \(\left\{ \begin{align} & x=4+2t \\ & y=3-3t \\ \end{align} \right..\)

Lời giải

Đường thẳng \(d//\Delta \Rightarrow \) nhận VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow{n}=\left( 3;-4 \right)\) làm VTPT

\(\Rightarrow \) nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 4;3 \right)\) làm VTCP\(\Rightarrow \) d đi qua A(2;-3) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 4;3 \right)\) làm VTCP

\(\Rightarrow \) phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{align} & x=2+4t \\ & y=-3+3t \\ \end{align} \right..\)

Lời giải

Chọn A.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow{u}=\left( 2;-5 \right)\).

Bài 2: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 2;\,-1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( -3;\,2 \right)\) làm vectơ chỉ phương là A. \(\left\{ \begin{align} & x=-3+2t \\ & y=2-t \\ \end{align} \right.\) B. \(\left\{ \begin{align} & x=2-3t \\ & y=-1+2t \\ \end{align} \right.\) C. \(\left\{ \begin{align} & x=-2-3t \\ & y=1+2t \\ \end{align} \right.\) D. \(\left\{ \begin{align} & x=-2-3t \\ & y=1+2t \\ \end{align} \right.\)

Lời giải

Chọn B.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 2;\,-1 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( -3;\,2 \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng:

\(\left\{ \begin{align} & x=2-3t \\ & y=-1+2t \\ \end{align} \right.\)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( 1;-3 \right)\) có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\) là A. \(\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=2-3t \\ \end{align} \right.\) B. \(\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-3+2t \\ \end{align} \right.\) C. \(\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-1-6t \\ \end{align} \right.\) D. \(\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=2+2t \\ \end{align} \right.\)

Lời giải

Chọn C.

+ d đi qua qua \(A\left( 1;-3 \right)\) có VTCP là 

\(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\Rightarrow d:\left\{ \begin{align} & x=1-t' \\ & y=-3+2t' \\ \end{align} \right.\)

Đến đây ta kiểm tra xem đường thẳng d có trùng với đường nào trong các phương án trên.

+ A. đường thẳng \(b:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-3+2t \\ \end{align} \right.\) có VTPT \(\overrightarrow{u'}=\left( 1;-3 \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\) nên loại.

+ B. đường thẳng \(a:\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=2-3t \\ \end{align} \right.\) có VTPT \(\overrightarrow{u'}=\left( 1;2 \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\) nên loại.

+ C. đường thẳng \(c:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-1-6t \\ \end{align} \right.\) có VTPT \(\overrightarrow{u'}=\left( 3;-6 \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}=\left( -1;2 \right)\) nên đường thẳng c song song hoặc trùng với đường thẳng d.

(Đến đây ta sẽ chọn một điểm bất kì thuộc đường thẳng d rồi thay vào phương trình đường c nếu thỏa mãn thì d trùng với c còn không thì d song song với c)

+ Từ \(d:\left\{ \begin{align} & x=1-t' \\ & y=-3+2t' \\ \end{align} \right.\), giả sử chọn \(t'=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( 1;-3 \right)\in \Delta \) (Bạn có thể chọn giá trị t bất kì sao cho dễ tính toán)

Thế vào đường thẳng \(c:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-1-6t \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1=3t \\ & -3=-1-6t \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow t=\frac{1}{3}\) thỏa mãn \(\Rightarrow c\equiv d\Rightarrow \) phương trình đường thẳng

\(d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-1-6t \\ \end{align} \right.\)

(Tương tự như vậy ta sẽ thấy đường thẳng ở ý D song song với đường d)

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( 2;\ 1 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-1+2t \\ & y=2+t \\ \end{align} \right.\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta\) sao cho \(AM=\sqrt{10}\) A. \(M\left( -1;\ 2 \right), M\left( 4;\ 3 \right)\) B. \(M\left( -1;\ 2 \right), M\left( 3;\ 4 \right)\)                  C. \(M\left( 1;\ -2 \right), M\left( 3;\ 4 \right)\) D. \(M\left( 2;\ -1 \right), M\left( 3;\ 4 \right)\)

Lời giải

Chọn B.

Gọi \(M\left( -1+2t;\ 2+t \right)\)

Do \(AM=\sqrt{10}\Rightarrow \sqrt{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}-10t+10=10\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=2 \\ \end{align} \right.\)

Với \(t=0\Rightarrow M\left( -1;\ 2 \right)\)

Với \(t=2\Rightarrow M\left( 3;\ 4 \right)\)

Vậy \(M\left( -1;\ 2 \right)\) hoặc \(M\left( 3;\ 4 \right)\)

Bài 5: Cho hai điểm \(A\left( -1;2 \right), B\left( 3;1 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2+t \\ \end{align} \right.\). Tọa độ điểm C thuộc \(\Delta\) để tam giác ACB cân tại C là A. \(\left( \frac{7}{6};\,\frac{13}{6} \right)\) B. \(\left( \frac{7}{6};\,-\frac{13}{6} \right)\) C. \(\left( \,\frac{13}{6};\frac{7}{6} \right)\) D. \(\left( -\frac{7}{6};\,\frac{13}{6} \right)\)

Lời giải

Chọn C.

\(C\in \Delta :\,\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow C(1+t;2+t)\)

\(CA=CB\Leftrightarrow {{\left( t+2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow t=\frac{1}{6}\Rightarrow C\left( \frac{7}{6};\frac{13}{6} \right)\)

Bài 6: Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( 1;-1 \right)\), \(N\left( 4;3 \right)\) là A. \(\left\{ \begin{align} & x=3+t \\ & y=4-t \\ \end{align} \right.\) B. \(\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\ \end{align} \right.\) C. \(\left\{ \begin{align} & x=3-3t \\ & y=4-3t \\ \end{align} \right.\) D. \(\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=-1+4t \\ \end{align} \right.\)

Lời giải

Chọn D.

Đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( 1;-1 \right), N\left( 4;3 \right)\) có một véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{MN}=\left( 3;\ 4 \right)\).

Lời giải

Chọn C.

\(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 3;1 \right)\)

Vì đường thẳng d vuông góc với \(\Delta \) nên d có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left( 3;1 \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là \(3\left( x+1 \right)+\left( y-6 \right)=0\Leftrightarrow 3x+y-3=0\).

 

Trên đây là tòa bộ nội dung Lý thuyết và bài tập về Phương trình tham số của đường thẳng Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!