1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác \(0\) hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác \(0.\)
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\) đều là nghiệm của phương trình \({{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\) thì phương trình \({{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f\left( x \right)=g\left( x \right).\)
Ta viết
\(f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right).\)
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
Ví dụ 1: Cho phương trình \(2{{x}^{2}}-x=0\)\(\left( 1 \right)\). Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình \(\left( 1 \right)\)?
A. \(2x-\frac{x}{1-x}=0\).
B. \(4{{x}^{3}}-x=0\).
C. \({{\left( 2{{x}^{2}}-x \right)}^{2}}=0\).
D. \({{x}^{2}}-2x+1=0\).
Lời giải.
Chọn D.
Cách 1: Ta có: *\(2x-\frac{x}{1-x}=0\)\(\Rightarrow 2{{x}^{2}}-x=0\)
* \(4{x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4{x^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{1}{2}\\ x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
* \({\left( {2{x^2} - x} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
*\({{x}^{2}}-2x+1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 2: Phương trình \({{x}^{2}}=3x\) tương đương với phương trình:
A. \({{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}\).
B. \({{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}\).
C. \({{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}\).
D. \({{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\).
Lời giải.
Chọn D.
Cách 1: Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm \(T=\left\{ 0;3 \right\}\).
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\sqrt{x-2}=1\)\(\Rightarrow x-2=1\).
B. \(\frac{x\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)}=1\)\(\Leftrightarrow x=1\).
C. \(\left| 3x-2 \right|=x-3\)\(\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0\).
D. \(\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\)\(\Rightarrow 3x-12=0\).
Lời giải.
Chọn B.
Cách 1: Vì phương trình \(\frac{x\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)}=1\)có điều kiện xác định là \(x\ne 1\).
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương \(m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0\) (1) và \(\left( m-2 \right){{x}^{2}}-3x+{{m}^{2}}-15=0\) (2)
A. \(m=1\).
B. \(m=4\).
C. \(m=2\).
D. \(m=3\)
Lời giải.
Chọn B.
Cách 1:Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {mx - m + 2 = 0} \end{array}} \right.\)
Do hai phương trình tương đương nên \(x=1\) là nghiệm của phương trình (2)
Thay \(x=1\) vào phương trình (2) ta được
\(\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4}\\ {m = - 5} \end{array}} \right.\)
Với \(m=-5\): Phương trình (1) trở thành \(- 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = \frac{7}{5}} \end{array}} \right.\)
Phương trình (2) trở thành
Suy ra hai phương trình không tương đương
Với \(m=4\): Phương trình (1) trở thành \(- 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - \frac{{10}}{7}} \end{array}} \right.\)
Phương trình (2) trở thành \(4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{2}}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy \(m=4\) thì hai phương trình tương đương.
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương \(2{{x}^{2}}+mx-2=0\) (1) và \(2{{x}^{3}}+\left( m+4 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-4=0\) (2)
A. \(m=1\).
B. \(m=4\).
C. \(m=2\).
D. \(m=3\)
Chọn D.
Cách 1: Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
Ta có \(2{{x}^{3}}+\left( m+4 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-4=0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+mx-2 \right)=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2}\\ {2{x^2} + mx - 2 = 0} \end{array}} \right.\)
Do hai phương trình tương đương nên \(x=-2\) cũng là nghiệm của phương trình (3)
Thay \(x=-2\) vào phương trình (3) ta được \(2{{\left( -2 \right)}^{2}}+m\left( -2 \right)-2=0\Leftrightarrow m=3\)
Với \(m=3\) phương trình (3) trở thành \(2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2}\\ {x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\)
Phương trình (4) trở thành \(2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2}\\ {x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\)
Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy \(m=3\).
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
4. Bài tập
NHẬN BIẾT.
Câu 1. Cho phương trình \(\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0\). Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ?
A. \(x-1=0.\).
B. \(x+1=0.\).
C. \({{x}^{2}}+1=0.\).
D. \(\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0.\).
Câu 2. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng tập xác định.
B. Cả A, B, C đều đúng.
C. Có cùng dạng phương trình.
D. Có cùng tập hợp nghiệm.
THÔNG HIỂU.
Câu 3. Khi giải phương trình\(\sqrt{{{x}^{2}}-5}=2-x\)\(\left( 1 \right)\), một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước \(1\): Bình phương hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\)ta được:
\({{x}^{2}}-5={{(2-x)}^{2}}\)\(~\left( 2 \right)\)
Bước \(2\): Khai triển và rút gọn \(\left( 2 \right)\) ta được: \(4x=9\).
Bước \(3\): \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\).
Vậy phương trình có một nghiệm là: \(x=\frac{9}{4}\).
Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Đúng.
B. Sai ở bước 1.
C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 3.
Câu 4. Phương trình \({{x}^{2}}=3x\) tương đương với phương trình:
A. \({{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}\).
B. \({{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\).
C. \({{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}\).
D. \({{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}\).
Câu 5. Cho hai phương trình: \(x\left( x-2 \right)=3\left( x-2 \right)\ \ \ \left( 1 \right)\) và \(\frac{x\left( x-2 \right)}{x-2}=3\ \ \ \left( 2 \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình \(\left( 2 \right)\) là hệ quả của phương trình \(\left( 1 \right)\).
C. Phương trình \(\left( 1 \right)\) là hệ quả của phương trình \(\left( 2 \right)\).
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 6. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình \({{x}^{2}}-4=0\)?
A. \(\left( 2+x \right)\left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)=0.\).
B. \(\sqrt{{{x}^{2}}-3}=1.\).
C. \(\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=0.\).
D. \({{x}^{2}}-4x+4=0.\).
Câu 7. Cho phương trình \(2{{x}^{2}}-x=0\)\(\left( 1 \right)\). Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình \(\left( 1 \right)\)?
A. \(4{{x}^{3}}-x=0\). B. \({{\left( 2{{x}^{2}}-x \right)}^{2}}=0\). C. \(2x-\frac{x}{1-x}=0\). D. \({{x}^{2}}-2x+1=0\).
Câu 8. Khi giải phương trình\(\frac{\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2}=0\)\(\left( 1 \right)\), một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước \(1\): \(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow \frac{\left( x-3 \right)}{\sqrt{x}-2}\left( x-4 \right)=0\)\(~\left( 2 \right)\)
Bước \(2\):\(\Leftrightarrow \frac{\left( x-3 \right)}{\sqrt{x}-2}=0\cup x-4=0\).
Bước \(3\): \(\Leftrightarrow x=3\cup x=4\).
Bước \(4\):Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(T=\left\{ 3;4 \right\}\).
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 2.
B. Sai ở bước 1.
C. Sai ở bước 4.
D. Sai ở bước 3.
Câu 9. Khi giải phương trình\(\frac{\left( x-5 \right)\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-3}=0\)\(\left( 1 \right)\), một học sinh tiến hành theo các bước sau:
Bước \(1\): \(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow \frac{\left( x-5 \right)}{\sqrt{x}-3}\left( x-4 \right)=0\)\(~\left( 2 \right)\)
Bước \(2\):\(\Leftrightarrow \frac{\left( x-5 \right)}{\sqrt{x}-3}=0\cup x-4=0\).
Bước \(3\): \(\Leftrightarrow x=5\cup x=4\).
Bước \(4\):Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(T=\left\{ 5;4 \right\}\).
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 1.
D. Sai ở bước 4.
Câu 10. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\left| 3x-2 \right|=x-3\)\(\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0\).
B. \(\sqrt{x-3}=2\)\(\Rightarrow x-3=4\).
C. \(\frac{x\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)}=2\)\(\Leftrightarrow x=2\).
D. \(\sqrt{x+3}=\sqrt{9-2x}\)\(\Rightarrow 3x-6=0\).
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về phương trình tương đương và phương trình hệ quả. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
