Lý thuyết và bài tập về dấu nhị thức bậc nhất

1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với $x$  là biểu thức dạng $f\left(x\right)=ax+b$ trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a\ne 0$.

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí. Nhị thức $f\left(x\right)=ax+b$ có giá trị cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy các giá trị trong khoảng $(-\frac{b}{a};+\mathrm{\infty }),$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ lấy giá trị trong khoảng $(-\mathrm{\infty };-\frac{b}{a}).$

a. Sử dụng bảng xét dấu  (phải cùng – trái trái: với hệ số a)

b. Sử dụng trục số

●  Nếu $a>0$ thì : 

     

●  Nếu $a<0$ thì : 

        

●  Minh họa bằng đồ thị

3. Một số ứng dụng.

a) Bất phương trình tích

• Dạng: $P\left(x\right).Q\left(x\right)>0$ (1) (trong đó $P\left(x\right)$, $Q\left(x\right)$ là những nhị thức bậc nhất.)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của $P\left(x\right).Q\left(x\right)$. Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

b) Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Dạng: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ (2) (trong đó $P\left(x\right)$, $Q\left(x\right)$ là những nhị thức bậc nhất.)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý. Không nên qui đồng và khử mẫu.

c) Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Dạng 1: $a$$\left|f(x)\right|<g(x)\iff \{\begin{array}{l}g(x)>0\\ -g(x)<f(x)<g(x)\end{array}$

Dạng 2:$\left|f(x)\right|>g(x)\iff [\begin{array}{l}g(x)<0\\ \{\begin{array}{c}g(x)\ge 0\\ [\begin{array}{c}f(x)<-g(x)\\ f(x)>g(x)\end{array}\end{array}\end{array}$$\left|f(x)\right|>g(x)\iff [\begin{array}{l}g(x)<0\\ \{\begin{array}{c}g(x)\ge 0\\ [\begin{array}{c}f(x)<-g(x)\\ f(x)>g(x)\end{array}\end{array}\end{array}$

Chú ý. Với B > 0 ta có: $\left|A\right|<B\iff -B<A<B$ ; $\left|A\right|>B\iff [\begin{array}{l}A<-B\\ A>B\end{array}$

Ví dụ 1:  Cho nhị thức bậc nhất $f\left(x\right)=23x-20$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.$f\left(x\right)>0$ với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.                            

B.$f\left(x\right)>0$ với $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty };\frac{20}{23})$.

C.$f\left(x\right)>0$ với $x>-\frac{5}{2}$.   

D.$f\left(x\right)>0$ với $\mathrm{\forall }x\in (\frac{20}{23};+\mathrm{\infty })$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có $23x-20=0\iff x=\frac{20}{23}$, $a=23>0$ .

Bảng xét dấu

Vậy $f\left(x\right)>0$ với $\mathrm{\forall }x\in (\frac{20}{23};+\mathrm{\infty })$ .

Ví dụ 2: Các số tự nhiên bé hơn $4$ để $f\left(x\right)=\frac{2x}{5}-23-(2x-16)$ luôn âm

A.$\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3\}$.                                 

B.$-\frac{35}{8}$

C.$\{0;1;2;3\}$.             

D.$\{0;1;2;-3\}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $f\left(x\right)=\frac{2x}{5}-23-(2x-16)$$=-\frac{8}{5}x-7$

$f\left(x\right)=0\iff x=-\frac{35}{8}$, $a=-\frac{8}{5}<0$ .

Bảng xét dấu

$f\left(x\right)<0$ với $\mathrm{\forall }x\in (-\frac{35}{8};+\mathrm{\infty })$ .

Vậy $x\in \{0,1,2,3\}$.

Ví dụ 3:  Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left(x\right)=5x-\frac{x+1}{5}-4-(2x-7)$ luôn âm

A. $\varnothing$.        

B. $\mathbb{R}$.      

C. $(-\mathrm{\infty };-1)$.  

D. $(-1;+\mathrm{\infty })$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $f\left(x\right)=5x-\frac{x+1}{5}-4-(2x-7)$$=\frac{14}{5}x+\frac{14}{5}$

$f\left(x\right)=0\iff x=-1$, $a=\frac{14}{5}>0$ .

Bảng xét dấu

$f\left(x\right)<0$ với $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty };-1)$ .

Vậy $x\in (-\mathrm{\infty };-1)$.

Câu 1: Cho biểu thức $f\left(x\right)=2x-4.$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $f\left(x\right)\ge 0$ là

A. $S=[2;+\mathrm{\infty }).$                          

B. $S=[\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }).$      

C. $S=(-\mathrm{\infty };2].$                              

D. $S=(2;+\mathrm{\infty }).$

Câu 2: Cho biểu thức $f\left(x\right)=\frac{1}{3x-6}.$ Tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $f\left(x\right)\le 0$ là

A. $S=(-\mathrm{\infty };2].$     

B. $S=(-\mathrm{\infty };2).$          

C. $S=(2;+\mathrm{\infty }).$       

D. $S=[2;+\mathrm{\infty }).$

Câu 3: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức $f\left(x\right)=2x+\frac{3}{2x-4}-(3+\frac{3}{2x-4})$ âm

A. $2x<3$                      

B. $x<\frac{3}{2}$ và $x\ne 2$.                       

C. $x<\frac{3}{2}$   

D. Tất cả đều đúng.

Câu 4: Các số tự nhiên bé hơn $6$ để biểu thức $f\left(x\right)=5x-\frac{1}{3}-(12-\frac{2x}{3})$ luôn dương

A. $\{2;3;4;5\}$             

B. $\{0;1;2;3;4;5\}$   

C. $\{3;4;5\}$    

D. $\{3;4;5;6\}$

Câu 5: Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức$f\left(x\right)=\frac{3x+5}{2}-1-(\frac{x+2}{3}+x)$ luôn âm

A. Vô nghiệm.                

B. Mọi $x$ đều là nghiệm.                                

C. $x>4,11$                   

D. $x<-5.$

Câu 6: Tìm tham số thực $m$ để tồn tại $x$ thỏa $f\left(x\right)=m^{2}x+3-(mx+4)$ âm

A. $m=1$                      

B. $m=0$                    

C. $m=1$ hoặc $m=0$

D. $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

Câu 7: Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để không tồn tại giá trị nào của $x$ sao cho biểu thức $f\left(x\right)=mx+m-2x$ luôn âm.

A. $m=0$                      

B. $m=2$                    

C. $m=-2$                   

D. $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)=x(x^2-1)\ge 0$

A.$(-\mathrm{\infty };-1)\cup [1;+\mathrm{\infty })$.                         

B.$[-1;0]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.         

C.$(-\mathrm{\infty };-1]\cup [0;1)$.       

D.$[-1;1]$.

Câu 9: Số các giá trị nguyên âm của$x$ để biểu thức$f\left(x\right)=(x+3)(x-2)(x-4)$không âm là

A. 0.                               B. 1                               C. 2.                              D. 3.

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)=-3x^2+x-2<0$

A. $(-\mathrm{\infty };\frac{2}{3}]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.          

B. $(-\mathrm{\infty };\frac{2}{3})\cup (1;+\mathrm{\infty })$.

C. $(\frac{2}{3};1)$.                        

D.$[\frac{2}{3};1]$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về dấu nhị thức bậc nhất. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• 55 bài tập trắc nghiệm về Dấu của nhị thức bậc nhất Toán 10 có đáp án chi tiết

Chúc các em học tập tốt!