Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng tổng quát là

 $ax+by\le c\left(1\right)$ (ax+by > c, ax+by < c, $ax+by\ge c$)

trong đó $a,b,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0,x$ và $y$ là các ẩn số.

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\left(1\right)$ được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình $ax+by\le c$ như sau (tương tự cho bất phương trình $ax+by\ge c$)

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: $ax+by=c.$

Bước 2. Lấy một điểm $M_0(x_0;y_0)$ không thuộc $\mathrm{\Delta }$ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$)

Bước 3. Tính $a{x}_0+b{y}_0$ và so sánh $a{x}_0+b{y}_0$ với $c.$

Bước 4. Kết luận

Nếu $a{x}_0+b{y}_0$ < c thì nửa mặt phẳng bờ $\mathrm{\Delta }$ chứa $M_0$ là miền nghiệm của $a{x}_0+b{y}_0\le c.$

Nếu $a{x}_0+b{y}_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\mathrm{\Delta }$ không chứa $M_0$ là miền nghiệm của $a{x}_0+b{y}_0\le c.$

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình $a{x}_0+b{y}_0\le c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ là miền nghiệm của bất phương trình $a{x}_0+b{y}_0$ < c

Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 3$

Giải

Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2x+y=3.$

Lấy gốc tọa độ $O(0;0),$ ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và có $2.0+0<3$ nên nửa mặt phẳng bờ $\mathrm{\Delta }$ chứa gốc tọa độ $O$ là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn  mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}.$

Giải.

Vẽ các đường thẳng

Vì điểm $M_0(1;1)$ có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $\left(d_1\right),$ $\left(d_2\right),$ $\left(d_3\right),$ $\left(d_4\right)$ không chứa điểm $M_0.$ Miền không bị tô đậm (hình tứ giác $OCIA$ kể cả bốn cạnh $AI,IC,CO,OA$) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Vấn đề 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2x^2+3y>0.$                      

B. $x^2+y^2<2.$

C. $x+y^2\ge 0.$    

D. $x+y\ge 0.$

Câu 2. Cho bất phương trình $2x+3y-6\le 0(1)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình $\left(1\right)$ chỉ có một nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình $\left(1\right)$vô nghiệm.

C. Bất phương trình $\left(1\right)$ luôn có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình $\left(1\right)$có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: $3x+2(y+3)>4(x+1)-y+3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. $(3;0).$                         

B. $(3;1).$

C. $(2;1).$    

D. $(0;0).$

Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. $(0;0).$                         

B. $(-4;2).$

C. $(-2;2).$  

D. $(-5;3).$

Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình $-x+2+2(y-2)<2(1-x)$ là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. $(0;0).$                         

B. $(1;1).$

C. $(4;2).$    

D. $(1;-1).$

Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: $x-4y+5>0$

A. $(-5;0).$                       

B. $(-2;1).$

C. $(0;0).$   

D. $(1;-3).$

Câu 7. Điểm $A(-1;3)$ là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:

A. $-3x+2y-4>0.$                               

B. $x+3y<0.$         

C. $3x-y>0.$                                       

D. $2x-y+4>0.$

Câu 8. Cặp số $(2;3)$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

A. $2x3y1>0$.                                    

B. $xy<0$.              

C. $4x>3y$.                                        

D. $x3y+7<0$.

Câu 9. Miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 2$ là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. $2x-y<3.$     

B. $2x-y>3.$           

C. $x-2y<3.$          

D. $x-2y>3.$

Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về bất phương trình và hệ bất phương trình 1 ẩn

• Lý thuyết và bài tập về dấu nhị thức bậc nhất

Chúc các em học tập tốt!