Lý thuyết và bài tập về Phương trình chính tắc và phương trình theo hệ số góc của đường thẳng Toán 10

1. Phương trình chính tắc

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)\) làm VTCP có phương trình

\(\left\{ \begin{align} & x=x{}_{0}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ \end{align} \right.\) (2)

Với \(a.b\ne 0\) thì hệ phương trình(2)

\(\frac{x-x{}_{0}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\frac{x-{{x}_{0}}}{a} \\ & t=\frac{y-{{y}_{0}}}{b} \\ \end{align} \right. \) (3)

\(\Rightarrow \) Phương trình (3) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Phương trình chính tắc của đường thẳng qua A(-1; -2) và B(0;3) là: A. \(5\left( x+1 \right)-1\left( y+2 \right)=0.\) B. \(\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=-2+5t \\ \end{align} \right..\) C.\(\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{5}.\) D. \(\frac{x}{1}=\frac{y+2}{5}.\)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua A(-1;-2) và có VTCP \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;5 \right)\)

\(\Rightarrow \) phương trình chính tắc của d là: \(\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{5}.\)

Đáp án D.

2. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

+ Cho đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và có hệ số góc k

Khi đó d có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;k \right)\Rightarrow d\) có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( k;1 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d: \(k\left( x-{{x}_{0}} \right)-1\left( y-{{y}_{0}} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\) (4)

\(\Rightarrow \) Phương trình (4) gọi là phương trình đường thẳng d theo hệ số góc k.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A(-1;2) và song song với \(\Delta :y=5x+2\) có phương trình là: A. y = 5x -3. B. y = 3x + 5. C. y= -7x -5. D. y = 5x +7.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A(-1;2) và có hệ số góc k = 5

\(\Rightarrow d:y=5\left[ x-\left( -1 \right) \right]+2\Leftrightarrow y=5x+7.\)

Đáp án D.

II. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\) với \(\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)\left( y{}_{B}-{{y}_{A}} \right)\ne 0\) không phải là phương trình nào sau đây? A. \(\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}.\) B. \(\frac{x-{{x}_{B}}}{{{x}_{A}}-{{x}_{B}}}=\frac{y-{{y}_{B}}}{{{y}_{A}}-{{y}_{B}}}.\) C. \(\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}.\)                         D. \(\frac{x-{{x}_{B}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{B}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}.\)

Lời giải:

Chọn A.

Nhận thấy ở phương án A, VTCP của AB là \(\overrightarrow{u}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{A}}-y{}_{B} \right)\) không cùng pương với \(\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}}\Rightarrow  \right)\) mâu thuẫn \(\Rightarrow \) phương án A không phải là phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Nhận xét: + Phương án B: AB đi qua B và có VTCP là \(\overrightarrow{BA}\) 

            + Phương án C: AB đi qua A và có VTCP là \(\overrightarrow{AB}\)

            + Phương án D: AB đi qua B và có VTCP là \(\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \) Cả 3 phương án B, C, D đều đúng.

Bài 2: Đường thẳng \(d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\), với \(a\ne 0\), \(b\ne 0\), đi qua điểm \(M\left( -1;6 \right)\) và tạo với các tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. Tính \(S=a+2b\) A. S=10 B. S=6 C. \(S=\frac{-5+7\sqrt{7}}{3}\) D. \(S=-\frac{74}{3}\)

Lời giải

Chọn A.

\(d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) đi qua điểm \(M\left( -1;6 \right)\) \(\Rightarrow \frac{-1}{a}+\frac{6}{b}=1\left( 1 \right)\).

Đường thẳng \(d:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) tạo với các tia Ox; Oy tam giác có diện tích bằng 4 \Rightarrow ab=8\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{-1}{a}+\frac{6}{b}=1 \\ & ab=8 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{-1}{a}+\frac{6}{b}=1 \\ & ab=8 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - b}}{8} + \frac{6}{b} = 1\\ ab = 8 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=4 \\ & a=2 \\ \end{align} \right.\) (nhận) hoặc \(\left\{ \begin{align} & b=-12 \\ & a=-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\) (Loại)

⇒ a+2b=10

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left( 0;-5 \right)\) và \(B\left( 3;0 \right)\) A. \(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1\) B. \(-\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) C. \(\frac{x}{3}-\frac{y}{5}=1\) D. \(\frac{x}{5}-\frac{y}{3}=1\)

Lời giải

Chọn C.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 0;-5 \right)\) và \(B\left( 3;0 \right)\)

\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-5}=1 \Leftrightarrow \frac{x}{3}-\frac{y}{5}=1\)

Bài 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\) và 6x-2y-8=0 A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau.

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2 \Leftrightarrow 3x-2y-6=0\)

Do \(\frac{6}{3}\ne \frac{-2}{-2}\) nên hai đường thẳng cắt nhau.

Mặt khác \(6.3+\left( -2 \right).\left( -2 \right)\ne 0\) nên hai đường thẳng không vuông góc.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M\left( 4;\text{ 1} \right)\), đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt tại \(A\left( a;\text{ 0} \right)\), \(B\left( 0;\text{ }b \right)\) sao cho tam giác ABO (O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị a-4b bằng A. -14. B. 0. C. 8. D. -2

Lời giải

Chọn B.

Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ( theo giả thiết ta có a>0,b>0)

Do d đi qua \(M\left( 4;\text{ 1} \right)\) nên ta có \(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1\)

Mặt khác diện tích của tam giác vuông ABO là \({{S}_{ABO}}=\frac{1}{2}ab\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có \(1=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{4}{a}.\frac{1}{b}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}\Leftrightarrow \sqrt{ab}\ge 4\Leftrightarrow \frac{1}{2}ab\ge 8\)

Vậy diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 8 khi a, b thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{align} & \frac{4}{a}=\frac{1}{b} \\ & \frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow a-4b=8-4.2=0\)

 

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Lý thuyết và bài tập về Phương trình chính tắc và phương trình theo hệ số góc của đường thẳng Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!