Lý thuyết và bài tập về Hình thoi và hình vuông Hình học 8

HÌNH HỌC LỚP 8

CHỦ ĐỀ: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

· Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.6.1).

· Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau (h.6.2).

2. Tính chất

* Trong hình thoi:

            · Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau;

            · Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi;

* Hình vuông có đủ các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

* Nhận biết hình thoi:

            · Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

            · Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

            · Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi;

            · Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

* Nhận biết hình vuông:

            · Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông;

            · Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông;

            · Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông;

            · Hình thoi có một góc vuông là hình vuông;

            · Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

I. MỘT SỐ VÍ DỤ.

Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD, độ dài mỗi cạnh là 13cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ OH $\mathrm{\perp }$ AD. Biết OH = 6cm, tính tỉ số của hai đường chéo BD và AC.

Giải

* Tìm cách giải

 Vẽ thêm BK $\mathrm{\perp }$ AD để dùng định lí đường trung bình của tam giác,

Định lí Py-ta-go tính bình phương độ dài của mỗi đường chéo.

* Trình bày lời giải

Vẽ BK $\mathrm{\perp }$ AD.

Xét $\mathrm{\Delta }$BKD có OH // BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD.

Vậy OH là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }$BKD.

Suy ra  $OH=\frac{1}{2}BK,$ do đó BK = 12cm.

Xét $\mathrm{\Delta }$ABK vuông tại K có AK² = AB² – BK² = 13² – 12² = 25

⇒  AK = 5cm do đó KD = 8cm.

Xét $\mathrm{\Delta }$BKD vuông tại K có BD² = BK² + KD² = 12² + 8² = 208.

Xét $\mathrm{\Delta }$AOH vuông tại H có OA² = OH² + AH² = 6² + 9² = 117.

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(\frac{AC}{2}\right)}^2=117\Rightarrow A{C}^2=468.\\ \iff \frac{B{D}^2}{A{C}^2}=\frac{208}{468}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow \frac{BD}{AC}=\frac{2}{3}.\end{array}$

 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.

Giải

* Tìm cách giải

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác DNGM là hình bình hành. Sau đó chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.

* Trình bày lời giải

$\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$ACF (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AE = AF và BE = CF.

Vì H là trực tâm của $\mathrm{\Delta }$ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.

Xét $\mathrm{\Delta }$EBC có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.

Chứng minh tương tự ta được MF = MB.

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành.

Mặt khác, DM = DN (cùng bằng $\frac{1}{2}$ của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo AC. Vẽ ME $\mathrm{\perp }$ AD, MF $\mathrm{\perp }$ CD và MH $\mathrm{\perp }$ EF. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên AC thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

* Tìm cách giải

Vẽ hình chính xác ta thấy đường thẳng MH đi qua một điểm cố định là điểm B. Vì thế ta sẽ chứng minh ba điểm H, M, B thẳng hàng bằng cách chứng minh $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}.$

 * Trình bày lời giải

Gọi N là giao điểm của đường thẳng EM với BC.

Khi đó BN = AE; AE = ME (vì $\mathrm{\Delta }$AEM vuông cân)  suy ra BN = ME.

Chứng minh tương tự ta được MN = MF.

Nối MB ta được $\mathrm{\Delta }$BMN = $\mathrm{\Delta }$EFM (c.g.c).

Suy ra  $\widehat{B_1}=\widehat{E_1}\widehat{\Rightarrow M_1}=\widehat{M_2}.$

Từ đó ba điểm H, M, B thẳng hàng.

Vậy đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định là điểm B.

...

---Để xem tiếp nội dung các Bài tập vận dụng, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tài liệu Lý thuyết và bài tập về Hình thoi và hình vuông Hình học 8. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào website Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

​Chúc các em học tốt