BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÁCH TRONG BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TOÁN NÂNG CAO 8
**Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
\(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) với \(x \ne y\quad ;y \ne z\quad ;z \ne x\). Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức: \(\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} = \frac{1}{{\left( {z - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}}\) (*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau.
Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
Cho \(a \ne b;\;b \ne c;\;c \ne a\) chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
\({\rm{A}} = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
Áp dụng hằng đẳng thức (*)\({\rm{A}} = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} - \frac{{{c^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\)
\( = \frac{{a + b}}{{a - c}} + \frac{{b + c}}{{c - a}} = \frac{{a + b}}{{a - c}} - \frac{{b + c}}{{a - c}} = 1\)
Bài toán 2:
Cho \(a \ne b;\;b \ne c;\;c \ne a\). Rút gọn biểu thức
\(B = \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược
\(B = \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \)
\( = \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} - \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}} - \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {c - b} \right)}} = \\ = \frac{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) - \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) - \left( {x - b} \right)\left( {x - a} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = \frac{{\left( {x - c} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{\left( {x - a} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\end{array}\)
\( = \frac{{x - c}}{{a - c}} - \frac{{x - a}}{{a - c}} = \frac{{x - c - x + a}}{{a - c}} = 1\)
Bài toán 3:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {x - a} \right)}} + \frac{b}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{c}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\left( {c - x} \right)}} = \frac{x}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}\)
Biến đổi vế trái, ta được: \(\frac{a}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {x - a} \right)}} + \frac{b}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{c}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\left( {c - x} \right)}}\)=
\( = \frac{a}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {x - a} \right)}} + \frac{b}{{\left( {b - a} \right)\left( {a - c} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{b}{{\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{c}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\left( {c - x} \right)}}\)=
\( = \frac{1}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\left[ {\frac{a}{{x - a}} - \frac{b}{{x - b}}} \right] + \frac{1}{{\left( {c - a} \right)(b - c)}}\left[ {\frac{b}{{x - b}} - \frac{c}{{x - c}}} \right]\)=\( = \frac{1}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}.\frac{{(ax - bx)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{1}{{\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}.\frac{{\left( {bx - cx} \right)}}{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}} = \frac{x}{{\left( {a - c} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{x}{{\left( {c - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}\)\( = \frac{x}{{\left( {a - c} \right)\left( {x - b} \right)}}\left[ {\frac{1}{{x - a}} - \frac{1}{{x - c}}} \right] = \frac{{x\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - c} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}} = \frac{x}{{\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right)}}\). Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Trên đây là một phần trích của tài liệu Bài tập phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số Toán nâng cao 8. Để xem toàn bộ nội dung của các bài tập còn lại, các em đăng nhập vào website Chúng tôi.Net xem Online hoặc tải về máy tính. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu liên quan dưới đây:
