Lý thuyết và bài tập về hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{a}\) kí hiệu là -\(\overrightarrow{a}\). Đặc biệt \(\,\overrightarrow{a}+\left( -\overrightarrow{a} \right)=\overrightarrow{0}\)

Định nghĩa: Hiệu hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là vectơ \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left( -\overrightarrow{b} \right)\)

Tính chất:

+ \(\forall \overrightarrow{a}:\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)    

+ \(\forall \overrightarrow{a}:\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) + \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\)

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ

Với ba điểm bất kì \(A,\,B,\,C\) ta có \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\)

Điểm I là trung điểm của đoạn \(AB\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

Điểm G là trọng tâm \(\Delta ABC\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Dạng 1: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

Phương pháp giải:

-   Áp dùng định nghĩa: Tìm vectơ đối, tính tổng

-   Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

Ví dụ 1: Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là các vectơ khác \(\overrightarrow{0}\) với \(\overrightarrow{a}\) là vectơ đối của \(\overrightarrow{b}\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vectơ \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\) cùng phương.           

B. Hai vectơ \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\) ngược hướng.

C. Hai vectơ \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\) cùng độ dài.  

D. Hai vectơ \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\) chung điểm đầu.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\). Do đó, \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Ví dụ 2. Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai?

A. \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CD}.\)       

B. \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}.\)

C. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.\)       

D. \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}.\)

Lời giải.

Chọn B. Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\). Vậy A đúng.

Đáp án B. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} \\ \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\). Vậy B sai.

Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.\) Vậy C đúng.

Đáp án D. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.\). Vậy D đúng.

Ví dụ 3. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\).

A. \(\Delta ADC\)

B. \(\overrightarrow{DA}.\)

C. \(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}.\)                           

D. \(\overrightarrow{AB}.\)

Lời giải.

Chọn B. Ta có \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\).

Ví dụ 4. Cho O là tâm hình bình hành ABCD. Hỏi vectơ \(\left( \overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO} \right)\) bằng vectơ nào?

A. \(\overrightarrow{BA}.\)             

B. \(\overrightarrow{BC}.\)       

C. \(\overrightarrow{DC}.\)            

D. \(\overrightarrow{AC}.\)

Lời giải.

Chọn B. Ta có \(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

Dạng 2: Tính độ dài của vectơ

Phương pháp giải:

-  Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất.

-  Tính độ dài của vectơ đó.

-  Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|\) bằng:

A. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a\sqrt{3}.\)    

B. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)         

C. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2a.\)   

D. Một đáp án khác.

Lời giải.

Chọn A

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\Rightarrow AH\bot BC.\)

Suy ra \(AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Ta lại có \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| 2\overrightarrow{AH} \right|=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\).

Ví dụ 2. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có \(AB=a\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|.\)

A. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a\sqrt{2}.\)    

B. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)         

C. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2a.\)   

D. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a.\)

Lời giải.

Chọn A. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình vuông.

\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{AD} \right|=AD=a\sqrt{2}.\)

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, \(AB=\sqrt{2}\). Tính độ dài của \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\)

A. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{5}.\)           

B. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2\sqrt{5}.\)     

C. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{3}.\)          

D. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2\sqrt{3}.\)

Lời giải.

Chọn A.

Ta có \(AB=\sqrt{2}\xrightarrow{{}}AC=CB=1.\)

Gọi I là trung điểm \(BC\xrightarrow{{}}AI=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.\)

Khi đó \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\xrightarrow{{}}\left| \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right|=2\left| \overrightarrow{AI} \right|=2.\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.\)

NHẬN BIẾT

Câu 1. Cho 4 điểm bất kì \(A,B,C,O\). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}\). 

B.\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AO}\). 

C.\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}\).

D.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}\).

Câu 2. Cho hai điểm phân biệt\(A,B\). Điều kiện để điểm \(I\)là trung điểm của đoạn thẳng\(AB\)là:

A.\(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\). 

B.\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}\).      

C.\(\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}\).

D.\(IA=IB\).

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\).  

B.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\).

C.\(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}\). 

D.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).

Câu 4. Chọn khẳng định sai:

A. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).

B. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}\).

C. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).     

D. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}\).

Câu 5. Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai ?

A.\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\).  

B.\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}\). 

C.\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\).

D.\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

Câu 6. Cho 4 điểm bất kỳ \(A,\text{ }B,\text{ }C,\text{ }D\). Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CO}\).          

B.\(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\).

C.\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\).          

D.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}\).

Câu 7. Cho tam giác \(ABC\), khẳng định nào sau là đúng?

A.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).  

B.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

C.\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).

D.\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Câu 8. Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a},\,\ \overrightarrow{b}\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\overrightarrow{c}\) đều khác vectơ – không. Trong đó hai vectơ \(\overrightarrow{a},\,\ \overrightarrow{b}\) cùng hướng, hai vectơ \(\overrightarrow{a}\,,\text{ }\overrightarrow{c}\)đối nhau. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hai vectơ \(\ \overrightarrow{b}\ \,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\overrightarrow{c}\,\) cùng hướng.                                                       

B. Hai vectơ \(\ \overrightarrow{b}\ \text{ }v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\overrightarrow{c}\,\) ngược hướng.

C. Hai vectơ \(\ \overrightarrow{b}\text{ }\ v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\overrightarrow{c}\,\) đối nhau.                      

D. Hai vectơ \(\ \overrightarrow{b}\ \text{ }v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\overrightarrow{c}\,\) bằng nhau.

Câu 9. Cho các điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C,\text{ }D,\text{ }E,\text{ }F\). Đẳng thức nào sau đây sai

A.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}\).                       

B.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}\).

C.\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}\).                       

D.\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{EC}\).

Câu 10. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC~\) với cạnh huyền \(BC = 12\). Vectơ \(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{CG}\) có độ dài bằng bao nhiêu?

A.\(2\).       

B.\(4\).            

C.\(8\).            

D.\(2\sqrt{3}\).

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về hiệu của hai vectơ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

• Tích một vecto với một số và các dạng toán có liên quan

Chúc các em học tập tốt!