Lý thuyết và bài tập về đại cương phương trình

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\,\)\(\,\left( 1 \right)\)

trong đó \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là những biểu thức của \(x.\) Ta gọi \(f\left( x \right)\) là vế trái, \(g\left( x \right)\) là vế phải của phương trình \(\left( 1 \right).\)

Nếu có số thực \({{x}_{0}}\) sao cho \(f\left( {{x}_{0}} \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)\) là mệnh đề đúng thì \({{x}_{0}}\) được gọi là một nghiệm của phương trình\(\left( 1 \right).\)

Giải phương trình\(\left( 1 \right)\) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

Khi giải phương trình \(\left( 1 \right)\), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số \(x\) để \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

\(\begin{array}{l} 3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ 4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array}\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) là phương trình hai ẩn (\(x\) và \(y\)), còn \(\left( 3 \right)\) là phương trình ba ẩn (\(x,\,y\) và \(z\)).

Khi \(x=2,\,\,y=1\) thì hai vế của phương trình \(\left( 2 \right)\) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp \(\left( x;y \right)=\left( 2;1 \right)\) là một nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right).\)

Tương tự, bộ ba số \(\left( x;y;z \right)=\left( -\,1;1;2 \right)\) là một nghiệm của phương trình \(\left( 3 \right).\)

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

+ \(\sqrt{f\left( x \right)}\) xác định là \(f\left( x \right)\ge 0\)

+ \(\frac{1}{f\left( x \right)}\) xác định là \(f\left( x \right)\ne 0\)

+ \(\frac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\) xác định là \(f\left( x \right)>0\)

Ví dụ 1: Điều kiện xác định của phương trình \(x+\frac{5}{{{x}^{2}}-4}=1\) là:

A. \(\left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & x\ne -2 \\ \end{align} \right.\)      

B. \(x\ne 2.\).                

C. \(x\in \mathbb{R}.\).          

D. \(x\ne 2.\)

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x \ne - 2 \end{array} \right.\)

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình \(1+\sqrt{3-x}=\sqrt{x-2}\) là:

A. 2 < x < 3

B. \(2\le x\le 3\).           

C. \(x<3\).                    

D. \(x>2\)

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \ge 0}\\ {x - 2 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 3}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\)

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 3: Điều kiện xác định của phương trình \(1+\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-2}\) là:

A. 2 < x < 3

B. \(x\ge \frac{2}{3}\). 

C. \(x<3\).   

D. \(x\ge \frac{3}{2}\)

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3 \ge 0}\\ {3x - 2 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge \frac{3}{2}}\\ {x \ge \frac{2}{3}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 4: Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt{4-2x}=\frac{x+1}{{{x}^{3}}-3x+2}\) là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 2}\\ {x \ne 1} \end{array}} \right.\).                    

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 2}\\ {x \ne 1} \end{array}} \right.\).                  

C. \(x\le 2\).                  

D. \(x\ge 2\)

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 2x \ge 0}\\ {{x^3} - 3{\rm{x}} + 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 2}\\ {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) \ne 0} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 2}\\ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right) \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 2}\\ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne 2 \end{array} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 2}\\ {x \ne 1} \end{array}} \right.\)

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (có chia mức độ)

NHẬN BIẾT.

Câu 1. Tập xác định của phương trình\(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{2x+1}{x+1}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;2;1 \right\}\).   

B. \(\left[ 2;+\infty  \right)\). 

C. \(\left( 2;+\infty  \right)\).  

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 2;-1 \right\}\).

Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-5=\frac{3}{{{x}^{2}}+1}\)là:

A. \(x\ne -1.\).                 

B. \(\left\{ \begin{align} & x\ne 1 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right.\)

C. \(x\ne 1.\).               

D. \(x\in \mathbb{R}.\).

Câu 3. Tập xác định của phương trình \(3x+\frac{5}{x-4}=12+\frac{5}{x-4}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).   

B. \(\left[ 4;+\infty  \right)\).   

C. \(\left( 4;+\infty  \right)\).

D. \(\mathbb{R}\).

Câu 4. Tập xác định của phương trình\(\frac{x-2}{x+2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x(x-2)}\) là:

A. \(\left[ 2;+\infty  \right)\).  

B. \(\left( 2;+\infty  \right)\).   

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;0;2 \right\}\).

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;0 \right\}\).

Câu 5. Tập xác định của phương trình\(\frac{4x}{{{x}^{2}}-5x+6}-\frac{3-5x}{{{x}^{2}}-6x+8}=\frac{9x+1}{{{x}^{2}}-7x+12}\) là:

A. \(\mathbb{R}\).         

B. \(\left( 4;+\infty  \right)\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;3;4 \right\}\).     

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình\(\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}\) là:

A. \(x\in \mathbb{R}\). 

B. \(\left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & x\ne -2 \\ \end{align} \right.\) 

C. \(x\ge 2\). 

D. \(x>2\).

THÔNG HIỂU.

Câu 7. Điều kiện của phương trình \(3-{{x}^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2-x}}.\)

A. \(x<2.\)  

B. \(x>2.\)  

C. \(x\le 2.\)

D. \(x\ge 2.\)

Câu 8. Tập xác định của phương trình\(\frac{2x+1}{\sqrt{4-5x}}+2x-3=5x-1\) là:

A. \(D=\left( \frac{4}{5};+\infty  \right)\).          

B. \(D=\left( -\infty ;\frac{4}{5} \right]\).      

C. \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{4}{5} \right\}\).                         

D. \(D=\left( -\infty ;\frac{4}{5} \right)\).

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình\(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x-3}\) là:

A. \(\left( 3;+\infty  \right)\). 

B. \(\left[ 3;+\infty  \right)\).   

C. \(\left[ 2;+\infty  \right)\). 

D. \(\left[ 1;+\infty  \right)\).

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình\(\sqrt{3x-2}+\sqrt{4-3x}=1\) là:

A. \(\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right)\).         

B. \(\left( \frac{4}{3};+\infty  \right)\).           

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right\}\).           

D. \(\left[ \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right]\).

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về đại cương phương trình. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình

• Lý thuyết và bài tập về phương trình tương đương và phương trình hệ quả

Chúc các em học tập tốt!