Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt và bài tập có liên quan

1. Cung đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$

$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$

$\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$

2. Cung bù nhau ($\alpha$ và $\pi -\alpha$)

$\sin (\pi -a)=\sin \alpha$

$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

$\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$

3. Cung phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$

$\cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$

4. Cung hơn kém $\frac{\pi }{2}$ ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}+\alpha$)

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$

$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha$

$\cot (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$

5. Cung hơn kém $\pi$ ($\alpha$ và $\pi +\alpha$)

$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

$\tan (\pi +\pi )=\tan \alpha$

$\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha$

Ví dụ: Giá trị $\cos \frac{29\pi }{3}$ là: A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{-\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{-1}{2}$

Lời giải

$\cos \frac{29\pi }{3}=\cos (\frac{30\pi }{3}-\frac{\pi }{3})=\cos (10\pi -\frac{\pi }{3})=\cos (-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

Đáp án B.

Bài 1: Cho $\tan \alpha =2$. Giá trị của $\cot \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)$ là: A. $\frac{1}{2}$ B. 2 C. $\frac{-1}{2}$ D. -2

Lời giải

Ta có: $\tan \alpha =2\Rightarrow \tan \left(\pi +\alpha \right)=2$

$\Rightarrow \cot \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\pi +\alpha \right)=-\tan \left(\pi +\alpha \right)=-2$

Đáp án D.

Bài 2: Giá trị của biểu thức: $B=\tan 10{}^{\circ }.\tan 20{}^{\circ }.\tan 30{}^{\circ }...\tan 80{}^{\circ }$ là: A. 1 B. -1 C. 8 D. -8

Lời giải

$B=\tan 10{}^{\circ }.\tan 20{}^{\circ }.\tan 30{}^{\circ }...\tan 80{}^{\circ }=\cot 80{}^{\circ }.\cot 70{}^{\circ }.\cot 60{}^{\circ }...\cot 10{}^{\circ }$

$\Rightarrow B^2=(\tan 10{}^{\circ }.\cot 10{}^{\circ })(\tan 20{}^{\circ }.\cot 20{}^{\circ })...(\tan 80{}^{\circ }.\cot 80{}^{\circ })=1.1....1.=1$

Mặt khác B>0 do $\tan 10{}^{\circ },\tan 20{}^{\circ },\tan 30{}^{\circ },...,\tan 80{}^{\circ }$ đều lớn hơn $0\Rightarrow B=1$

Đáp án B.

Bài 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$. Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai? A. $\sin B=\sin (A+C)$ B. $\cos (B-C)=-\cos (A+2C)$ C. $\cos \frac{-3A+B+C}{2}=-\sin 2A$ D. $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$

Lời giải

Vì $A+B+C=\pi$ nên $\sin B=\sin (A+C)$

Vì $A+B+C=\pi$ nên $(A+2C)+(B-C)=\pi \Rightarrow \cos (B-C)=-\cos (A+2C)$

Vì $\frac{-3A+B+C}{2}=\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{-3A+B+C}{2})$ (phụ chéo)

$=\sin \frac{A+B+C+3A-B-C}{2}=\sin 2A$

Vậy C sai.

Đáp án C.

Bài 4: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn $A=\frac{\cos x+a\sin x+1}{\cos x+2}$ có giá trị lớn nhất là 1? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải

$\begin{array}{rl}& A\cos x+2A=\cos x+a\sin x+1\\ & \iff a\sin x+\cos x(1-A)=2A-1\\ & \Rightarrow a^2+{(1-A)}^2\ge {(2A-1)}^2\\ & \Rightarrow 3A^2-2A-a^2\le 0\left(1\right)\end{array}$

Để giá trị lớn nhất của A là 1 thì (1) có một nghiệm bằng 1

$\Rightarrow 3-2-a^2=0\Rightarrow a=\pm 1$ thay vào $\left(1\right)$ ta được: $3A^2-2A-1\le 0$

$\Rightarrow \frac{-1}{3}\le A\le 1$ (thỏa mãn)

Vậy $a=\pm 1$

Đáp án C

Bài 5: Biểu thức $A=\sin (5\pi -a)$ bằng: A. sin a B. cos a C. -sin a D. -cos a

Lời giải

$\begin{array}{rl}& \sin (5\pi -a)=\sin (2.2\pi +\pi -a)\\ & \text{ =}\sin (\pi -a)=\sin a\end{array}$

Đáp án D

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt và bài tập có liên quan. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!