Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 1 Khái niệm đạo hàm

Tìm số gia của hàm số y = x2 − 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia ∆x, biết

a. ∆x = 1

b. ∆x = -0,1.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x2 − 1

Câu a: 

Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)

                      =f(2) − f(1) = 3 − 0 = 3

Câu b:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)\\ =f(0,9)-f(1)=(0,9{)}^2-1=-0,19\end{array}$

---

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0

$\begin{array}{l}a)y=2x+1,x_0=2\\ b)y=x^2+3x,x_0=1\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

f(x) = 2x + 1, cho x0 = 2 một số gia Δx

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ =f(2+\mathrm{\Delta }x)-f(2)\\ =2(2+\mathrm{\Delta }x)+1-5=2\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=2\Rightarrow f\prime (2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=2\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ =f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)\\ =(1+\mathrm{\Delta }x{)}^2+3(1+\mathrm{\Delta }x)-4\\ =5\mathrm{\Delta }x+{\mathrm{\Delta }}^{2}x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=5+\mathrm{\Delta }x\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=5\end{array}$

Vậy f'(1) = 5

---

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 (a là hằng số)

a) y = ax + 3

b) $y=\frac{1}{2}a{x}^2$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f (x) = ax + 3, cho x0 một số gia Δx, ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ =a(x_0+\mathrm{\Delta }x)+3-(a{x}_0+3)=a\mathrm{\Delta }x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=a\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=a\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{2}a{x}^2,\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\\ =\frac{1}{2}a(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^2-\frac{1}{2}a{x}_0^2\\ =\frac{1}{2}a\mathrm{\Delta }x(2x_0+\mathrm{\Delta }x)\\ \Rightarrow f\prime (x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{2}a(2x_0+\mathrm{\Delta }x)=a{x}_0\end{array}$

---

Cho parabol y = x2 và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: A(2;4); B(2+Δx,(2+Δx)2)

Hệ số góc của cát tuyến AB là :

$k=\frac{{(2+\mathrm{\Delta }x)}^2-4}{2+\mathrm{\Delta }x-2}=\frac{4\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2}{\mathrm{\Delta }x}=4+\mathrm{\Delta }x$

Nếu Δx = 1 thì k = 5

Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1

Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01

Câu b:

Hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là :

$\begin{array}{l}k=y\prime (2)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}=\frac{f(2+\mathrm{\Delta }x)-f(2)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(4+\mathrm{\Delta }x)=4\end{array}$

---

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3,, biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}_0=-1;y_0=(-1{)}^3=-1\\ f(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^3-x_0^3}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{3x_0^2\mathrm{\Delta }x+3x_0{(\mathrm{\Delta }x)}^2+{\mathrm{\Delta }}^{3}x}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(3x_0^2+3x_0\mathrm{\Delta }x+{\mathrm{\Delta }}^{2}x)=3x_0^2\end{array}$

Với x0 = -1 ta có f′(−1) = 3(−1)2 = 3

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là :

y − (−1) = 3(x + 1) <=> y = 3x+ 2

Câu b:

Với $y_0=8=x_0^3\Rightarrow x_0=2$

f′(2) = 3.22 = 12

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y −8 = 12(x − 2) <=> y = 12x − 16

Câu c:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có :

$f\prime (x_0)=3\iff 3x_0^2=3\iff x_0=\pm 1$

Với x0 = 1 ta có y0 = 1 và phương trình tiếp tuyến là :

y − 1 = 3(x − 1) hay y = 3x − 2

Với x0 = -1 ta có y0 = -1 và phương trình tiếp tuyến là :

y − (−1) = 3(x + 1) hay y = 3x + 2

---

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $S=\frac{1}{2}g{t}^2$ , trong đó g=9,8m/s2 và t được tính bằng giây (s).

a. Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b. Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vận tốc trung bình của chuyển động là :

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}\\ =\frac{1}{2}g.\frac{{(t+\mathrm{\Delta }t)}^2-t^2}{\mathrm{\Delta }t}\\ =\frac{1}{2}g(2t+\mathrm{\Delta }t)\\ =\frac{1}{2}g.(10+\mathrm{\Delta }t)\end{array}$

Với Δt = 0,1 thì $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}.g.10,1=49,49m/s$

Với Δt = 0,01 thì $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}.g.10,01=49,049m/s$

Với Δt = 0,001 thì $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}.g.10,001=49,0049m/s$

Câu b:

Vận tốc tại thời điểm 

$t=5:v=S\prime (5)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{1}{2}g.10=49m/s$

---

Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x5trên R rồi suy ra f′(−1),f′(−2) và f′(2)

Hướng dẫn giải:

Với x0 ∈ R

Ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}=\frac{x_5-x_0^5}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}(x^4+x^3{x}_0+x^2{x}_0^2+x{x}_0^3+x_0^4)=5x_0^4\\ f\prime (-1)=5;f\prime (-2)=5.(-2{)}^4=80,f\prime (2)=80\end{array}$

---

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a. y = ax2 (a là hằng số)

b. y = x3 + 2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt  f(x) = y= ax2

Với x0 ∈ R ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2-a{x}_0^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}a(2x_0+\mathrm{\Delta }x)=2a{x}_0\end{array}$

Câu b:

Đặt f(x) = y = x3 + 2 

Với x0 ∈ R ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^3+2-x_0^3-2}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[{(x_0+\mathrm{\Delta }x)}^2+(x_0+\mathrm{\Delta }x)x_0+x_0^2\right]=3x_0^2\end{array}$

---

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a) $y=\frac{1}{2x-1}$ với $x\ne \frac{1}{2}$

b) $y=\sqrt{3-x}$ với x < 3

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt $f\left(x\right)=y=\frac{1}{2x-1}$

Với $x_0\ne \frac{1}{2}$ ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2x_0+2\mathrm{\Delta }x-1}-\frac{1}{2x_0-1}}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{-2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x(2x_0+2\mathrm{\Delta }x-1)(2x_0-1)}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}-2(2x_0+2\mathrm{\Delta }x-1)(2x_0-1)\\ =\frac{-2}{{(2x_0-1)}^2}\end{array}$

Câu b:

Đặt f(x) = $y=\sqrt{3-x}$ 

Với x0 < 3, ta có:

$\begin{array}{l}f\prime (x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{3-x_0-\mathrm{\Delta }x}-\sqrt{3-x_0}}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{-1}{\sqrt{3-x_0-\mathrm{\Delta }x}-\sqrt{3-x_0}}=\frac{-1}{2\sqrt{3-x_0}}\end{array}$

 

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5  Bài 1 Khái niệm đạo hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!