Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 1 Luyện tập (trang 46, 47)

Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]$, trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp trái lại.

 

a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến $\frac{1}{100}$ giây).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi $\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\pm 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\pm 1\iff \sin \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=0\\ \iff \frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)=k\pi \iff t=\frac{1}{2}\left(3k+1\right)\end{array}$

Ta cần tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

$0\le t\le 2\iff 0\le \frac{1}{2}\left(3k+1\right)\le 2\iff -\frac{1}{3}\le k\le 1\iff k\in \left\{0;1\right\}$

Với k=  0 thì $t=\frac{1}{2}$. Với k = 1 thì t = 2. Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm $\frac{1}{2}$ giây và 2 giây.

Câu b:

Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi $3\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\pm 2$

Ta có:

$\begin{array}{l}3\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\pm 2\\ \iff {\cos }^2\left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\frac{4}{9}\\ \iff 1+\cos \left[\frac{2\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=\frac{9}{8}\\ \iff \cos \left[\frac{2\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]=-\frac{1}{9}\\ \iff \frac{2\pi }{3}\left(2t-1\right)=\pm \alpha +k2\pi \\ \iff t=\pm \frac{3\alpha }{4\pi }+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}\end{array}$

với $\cos \alpha =-\frac{1}{9}$

Ta tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2 

• Với $t=\frac{3\alpha }{4\pi }+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$, ta có:

$0\le t\le 2\iff -\frac{1}{3}-\frac{\alpha }{2\pi }\le k\le 1-\frac{\alpha }{2\pi }$

Với $\cos \alpha =-\frac{1}{9}$ ta chọn $\alpha \approx 1,682$

Khi đó $-0,601<k<0,732$ suy ra k = 0 và $t\approx 0,90$

• Với $t=-\frac{3\alpha }{4\pi }+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$, ta có:

$0\le t\le 2\iff -\frac{1}{3}+\frac{\alpha }{2\pi }\le k\le 1+\frac{\alpha }{2\pi }$

Vì $\alpha \approx 1,682$ nên $-0,066<k<1,267$ suy ra $k\in \left\{0;1\right\}$

Với k = 0, ta có $t\approx 0,10$; với k = 1, ta có $t\approx 1,60$

Kết luận: Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là $t\approx 0,10$ giây; $t\approx 0,90$ giây và $t\approx 1,60$ giây.

---

Giải các phương trình sau:

a) ${\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=0$

b) ${\left(\tan x+\cot x\right)}^2-\left(\tan x+\cot x\right)=2$

c) $\sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=0,5$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=0\\ \iff \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{3\left(1-\cos 2x\right)}{2}=0\\ \iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}$

Câu b:

Đặt $t=\tan x+\cot x$ với điều kiện $\left|t\right|=\left|\tan x\right|+\left|\cot x\right|\ge 2$ (BĐT Cô - si)

Ta có $t^2-t=2\iff t^2-t-2=0\iff [\begin{array}{l}t=-1\left(l\right)\\ t=2\end{array}$

$\begin{array}{l}t=2\iff \tan x+\cot x=2\iff \tan x+\frac{1}{\tan x}=2\\ \iff {\tan }^{2}x-2\tan x+1=0\\ \iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l}\sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=0,5\iff \sin x+\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1}{2}\\ \iff \sin x=\frac{1}{2}\cos x\\ \iff \tan x=\frac{1}{2}\iff x=\alpha +k\pi \end{array}$

trong đó $\tan \alpha =\frac{1}{2}$

---

Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:

a. sinx–2cosx = 3

b. 5sin2x+sinx+cosx+6 = 0

Hướng dẫn b. Đặt sinx+cosx = t

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\sin x-2\cos x=3\iff \frac{1}{\sqrt{5}}\sin x-\frac{2}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{3}{\sqrt{5}}\iff \sin \left(x-\alpha \right)=\frac{3}{\sqrt{5}}$ trong đó α là số thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$. Phương trình cuối cùng vô nghiệm do $\frac{3}{\sqrt{5}}>1$, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu b:

Trong phương trình 5sin2x+sinx+cosx+6 = 0, ta đặt t = sinx+cosx với điều kiện $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ thì được phương trình 5t²+t+1 = 0. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

---

Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến $\frac{1}{10}$ giây)

a.  $2{\sin }^{2}x-3\cos x=2,0^0\le x\le {360}^0$

b.  $\tan x+2\cot x=3,{180}^0\le x\le {360}^0$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}2{\sin }^{2}x-3\cos x=2\iff 2{\cos }^{2}x+3\cos x=0\\ \iff [\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos x=\frac{-3}{2}\left(l\right)\end{array}\iff x={90}^0+k{180}^0\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy với điều kiện 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰, phương trình có hai nghiệm là x = 90⁰ và x = 270⁰.

Câu b:

ĐKXĐ: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Ta có:

$\tan x+2\cot x=3\iff {\tan }^{2}x-3\tan x+2=0\iff [\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=2\end{array}$

• $\tan x=1\iff x={45}^0+k{180}^0$. Có một nghiệm thỏa mãn 180⁰ ≤ x ≤ 360⁰, ứng với k = 1 là x = 225⁰
• $\tan x=1\iff x=\alpha +k{180}^0$ với tanα = 2. Ta có thể chọn $\alpha \approx {63}^{0}265,8$

Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn 180⁰ ≤ x ≤ 360⁰ là:

$x=\alpha +{180}^0\approx {243}^{0}265,8$

Kết luận: Với điều kiện 180⁰ ≤ x ≤ 360 , phương trình có hai nghiệm và $x\approx {243}^{0}265,8$.

---

Giải các phương trình sau:

a.  3sin²x−sin2x−cos2x = 0

b.  3sin²2x−sin2xcos2x−4cos²2x = 2

c.  $2\sin 2x+\left(3+\sqrt{3}\right)\sin x\cos x+\left(\sqrt{3}-1\right)\cos 2x=-1$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Những giá trị của x mà cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

$\begin{array}{l}3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0\\ \iff 3{\tan }^{2}x-2\tan x-1=0\iff [\begin{array}{c}\tan x=1\\ \tan x=-\frac{1}{3}\end{array}\end{array}$

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ và trong đó $x=\alpha +k\pi$ trong đó $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$

Câu b:

Những giá trị của x mà cos²x = 0 không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho cos²2x ta được:

$\begin{array}{l}3{\tan }^{2}2x-\tan 2x-4=2\left(1+{\tan }^{2}2x\right)\\ \iff {\tan }^{2}2x-\tan 2x-6=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\tan 2x=-2\\ \tan 2x=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\alpha }{2}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\beta }{2}+k\frac{\pi }{2}\end{array}$ trong đó $\tan 2\alpha =-2,\tan 2\beta =3$

Câu c:

Với giá trị x mà cosx = 0 không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

$\begin{array}{l}2{\tan }^{2}x+\left(3+\sqrt{3}\right)\tan x+\sqrt{3}-1=-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\\ \iff 3{\tan }^{2}x+\left(3+\sqrt{3}\right)\tan x+\sqrt{3}=0\\ \iff [\begin{array}{c}\tan x=-1\\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

---

Giải các phương trình sau:

a) $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$

b) $\sin x=\sqrt{2}\sin 5x-\cos x$

c) $\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{2}{\sin 4x}$

d) $\sin x+\cos x=\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x\\ \iff \left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x=\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x\\ \iff \sin 2x\left(2\cos +1\right)-\cos 2x\left(2\cos +1\right)=0\\ \iff \left(2\cos x+1\right)\left(\sin 2x-\cos 2x\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}2\cos x+1=0\\ \sin 2x-\cos 2x=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \tan 2x=1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\sin x=\sqrt{2}\sin 5x-\cos x\\ \iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\sin 5x\\ \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin 5x\\ \iff [\begin{array}{c}5x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 5x=\frac{3\pi }{4}-x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Câu c:

ĐKXĐ: sin4x ≠ 0 (điều kiện này đã bao gồm sin2x ≠ 0 và cos2x ≠ 0).

Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với sin4x:

$\begin{array}{l}\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{2}{\sin 4x}\\ \iff \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{1}{\sin 2x\cos 2x}\\ \iff \sin 2x+\cos 2x=1\\ \iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\\ \iff [\begin{array}{c}2x=k2\pi \\ 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\end{array}$

Ta thấy: Nếu 2x = k2π thì sin2x = 0; nếu $2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ thì cos2x = 0, nên các giá trị đó của x đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu d:

ĐKXĐ: sin2x ≠ 1. Với điều kiện đó, ta có:

$\begin{array}{l}\sin x+\cos x=\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}\\ \iff \sin x+\cos x=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\left(\cos x-\sin x\right)}^2}\\ \iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\frac{1}{\cos x-\sin x}\right)=0\end{array}$

$\sin x+\cos x=0\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z(n)$

$\frac{1}{\cos x-\sin x}=1\iff \cos x-\sin x=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff [\begin{array}{l}x=k2\pi \left(n\right)\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(n\right)\end{array}\left(k\in Z\right)$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 1 Luyện tập (trang 46, 47) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.