Giải Toán 11 SGK nâng cao Ôn tập Chương 5 Đạo hàm

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. \(y = \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x}  + 1\)

b. \(y = \frac{{{x^2} + 3x - {a^2}}}{{x - 1}}\) (a là hằng số)

c. \(y = (2 - {x^2})cosx + 2xsinx\)

d. \(y = ta{n^2}x + tan{x^2}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y' = 2{x^3} + 5{x^2} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\)

Câu b:

\(y\prime  = \frac{{(2x + 3)(x - 1) - ({x^2} + 3x - {a^2})}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + {a^2} - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
y' =  - 2x\cos x - \left( {2 - {x^2}} \right)\sin x + 2\sin x + 2x\cos x\\
 = {x^2}\sin x
\end{array}\)

Câu d:

\(y\prime  = 2tanx(1 + ta{n^2}x) + 2x(1 + ta{n^2}{x^2})\)

---

a. Chứng minh rằng \(\left( {\frac{1}{{{x^n}}}} \right)\prime  =  - \frac{n}{{{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*

b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = \frac{1}{{{x^n}}}\). Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\left( {\frac{1}{{{x^n}}}} \right)' = \frac{{ - ({x^n})\prime }}{{{x^{2n}}}} = \frac{{ - n{x^{n - 1}}}}{{{x^{2n}}}} =  - \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}\)

Câu b:

Ta có: \(({x^{ - n}})\prime  =  - n{x^{ - n - 1}}\) (theo câu a)

Nhận xét : Công thức \(({x^n})\prime  =  - n{x^{n - 1}}\) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\))

---

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

\(\begin{array}{l}
a)y = \sin x,\:y'''\\
b)y = sinxsin5x,{y^{(4)}}\\
c)y = {(4 - x)^5},{y^{(n)}}\\
d)y = \frac{1}{{2 + x}},{y^{(n)}}\\
e)y = \frac{1}{{2x + 1}},{y^{(n)}}\\
f)y = co{s^2}x,{y^{(2n)}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = cosx\\
y =  - sinx\\
y\prime \prime \prime  =  - cosx
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}(cos4x - cos6x)\\
y\prime  =  - 2sin4x + 3sin6x\\
y =  - 8cos4x + 18cos6x\\
y\prime  = 32sin4x - 108sin6x\\
{y^{(4)}} = 128cos4x - 648cos6x
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - 5{(4 - x)^4}\\
y = 20{(4 - x)^3}\\
y\prime  =  - 60{(4 - x)^2}\\
{y^{(4)}} = 120(4 - x)\\
{y^{(5)}} =  - 120\\
{y^{(n)}} = 0(\forall n \ge 6)
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {(x + 2)^{ - 1}}\\
y\prime  =  - 1{(x + 2)^{ - 2}}\\
y'' = ( - 1)( - 2){(x + 2)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\(\begin{array}{l}
{y^{(n)}} = ( - 1)( - 2)...( - n).{(x + 2)^{ - n - 1}}\\
 = {( - 1)^n}.\frac{{n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}
\end{array}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l}
y = {(2x + 1)^{ - 1}}\\
y\prime  = ( - 1)(2{(2x + 1)^{ - 2}})\\
y'' = ( - 1)( - 2){.2^2}{(2x + 1)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(n)}} = {( - 1)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{(2x + 1)}^{n + 1}}}}\)

Câu f:

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - sin2x\\
y =  - 2cos2x\\
y''' = {2^2}sin2x\\
{y^{(4)}} = {2^3}cos2x\\
{y^{(5)}} =  - {2^4}sin2x\\
{y^{(6)}} =  - {2^5}cos2x,...
\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

\({y^{(2n)}} = {( - 1)^n}{.22^{n - 1}}cos2x\)

---

Tính vi phân của hàm số \(y = \frac{1}{{{{(1 + tanx)}^2}}}\) tại điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) ứng với \(\Delta x = \frac{\pi }{{360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(df(x) = \frac{{ - 2(1 + tanx)\frac{1}{{co{s^2}x}}}}{{{{(1 + tanx)}^4}}}.\Delta x = \frac{{ - 2\Delta x}}{{co{s^2}x{{(1 + tanx)}^3}}}\)

\( \Rightarrow df(\pi 6) = \frac{{ - 2.\frac{\pi }{{360}}}}{{co{s^2}\frac{\pi }{6}{{\left( {1 + tan\frac{\pi }{6}} \right)}^3}}} = \frac{{ - \pi }}{{180.\frac{3}{4}{{\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^3}}} \approx  - 0,0059\)

---

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :

a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{8}x + 3\)

d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

f′(x) = 4x³ + 4x.Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x_0^2 = 1\\
x_0^2 - 3(L)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1\)

* Với x₀ = 1 ta có f′(1) = 4.1³ + 4.1 = 8

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y−2 = 8 (x − 1) <=> y = 8x − 6

* Với x₀ = -1 ta có f′(−1) = 4. (−1)³ + 4.(−1) = −8 

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

y − 2 = −8(x+1) <=> y = −8x − 6

Câu b:

Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y − (−1) = 0(x − 0) <=> y = −1

Câu c:

Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{8}x + 3\), nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

y′ = 8 <=> 4x³ + 4x − 8 = 0 <=> 4(x − 1)(x² + x + 2 ) = 0 <=> x = 1

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là: y = 8x – 6

Câu d:

 Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho:

\(\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = kx - 6\\
f\prime (x) = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6\\
4{x^3} + 4x = k
\end{array} \right.\)

Khử k từ hệ trên ta được: \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Suy ra k = ±8

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là: y = 8x − 6

---

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ≠ 1, ta có: \(y\prime  =  - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};\frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\) (với x₀ ≠ 1) là \(y =  - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}(x - {x_0}) + \frac{1}{{{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ xA thỏa mãn \(\frac{{{x_A} - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là \({y_B} = \frac{{{x_0}}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x_0} - 1}} = \frac{{2{x_0} - 1}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}|{x_A}|.|{y_B}| = 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{{{(2{x_0} - 1)}^2}}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

\( \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{{\frac{3}{4} - 1}} =  - 4.\)

Vậy điểm cần tìm là \({M_0}\left( {\frac{3}{4}; - 4} \right)\)

---

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).

Hướng dẫn giải:

Đa thức phải tìm có dạng : P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Ta có: P′(x) = 2ax + b

Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\) (1)

Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là: 9a + 3b + c = 0 (2)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \(tan\frac{\pi }{4}\) nên ta có P′(3) = 1, tức là :

6a + b = 1(3)

Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được:

\(\begin{array}{l}
a = \frac{1}{4}\\
b =  - \frac{1}{2}\\
c =  - \frac{3}{4}
\end{array}\)

Vậy \(P(x) = \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\)

---

Cho parabol (P) : y=x².. Gọi M₁ và M₂ là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x₁ = -2 và x₂ = 1.

Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M₁M₂. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Hướng dẫn giải:

Các điểm M₁ và M₂ có tọa độ là M₁(-2 ; 4); M₂(1 ; 1)

Hệ số góc của cát tuyến M₁M₂ là \(tan\varphi  = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{4 - 1}}{{ - 2 - 1}} =  - 1\)

Vì tiếp tuyến tại điểm \(C({x_0};x_0^2)\) song song với cát tuyến M₁M₂ nên ta có :

y′(x₀) = −1 <=> 2x₀ = −1 <=> x₀ = −1/2

Suy ra tọa độ của điểm C là (−1/2; 1/4)

Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là: \(y = ( - 1)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{4} \Leftrightarrow y =  - x - \frac{1}{4}\)

---

Một chất điểm chuyển động có phương trình S = t³ − 3t² − 9t + 2, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m) 

a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2

b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3

c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0

d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

s′=3t² − 6t − 9

s" = 6t − 6

Câu a:

Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s

Câu b:

Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s²

Câu c: 

\(\begin{array}{l}
v = s\prime  = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\
a(3) = s''3) = 12m/{s^2}
\end{array}\)

Câu d: 

a = s" = 0 <=> 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1

v(1) = s′(1) = −12m/s

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Ôn tập Chương 5 Đạo hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!