Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 135)

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a) \(x + 3 + 2\left( {2y + 5} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\)

b) \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(x + 3 + 2\left( {2y + 5} \right) < 2\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow 3x + 4y + 11 < 0\)

miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo , không kể bờ là đường thẳng 3x + 4y + 11 = 0

 

Câu b:

Ta có \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2 \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y - 2 \ge 0\)

Miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo kể cả bờ là đường thẳng \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y - 2 = 0\)

---

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y > 0\\
x - 3y \le  - 3\\
x + y > 5
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y - 6 \ge 0\\
2\left( {x - 1} \right) + \frac{{3y}}{2} \le 4\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y > 0\\
x - 3y \le  - 3\\
x + y > 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y > 0\\
x - 3y + 3 \le 0\\
x + y - 5 > 0
\end{array} \right.\)

Miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo trong đó kể cả những điểm thuộc (d₂) và không kể các điểm trên (d₁ )và (d₃)

Trong đó, (d₁): x - y = 0

(d₂): x - 3y + 3 = 0

(d₃): x + y - 5 = 0

  

Câu b:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y - 6 \ge 0\\
2\left( {x - 1} \right) + \frac{{3y}}{2} \le 4\\
x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y - 6 \ge 0\\
4x + 3y - 12 \le 0\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch chéo trong đó kể cả những điểm thuộc 3 đường thẳng (d₁), (d₂), (d₃).

Trong đó (d₁): 3x - 2y - 6 = 0

(d₂): 4x + 3y - 12 = 0

(d₃): x = 0

Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y \ge 2\\
x - 2y \le 2\\
x + y \le 5\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

a) Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.

b) Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ (x;y) làm cho biểu thức f(x;y) = y − x có giá trị nhỏ nhất, biết rằng f(x;y) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Lần lượt dựng các đường thẳng:

\( - 2x + y =  - 2;x - 2y = 2,x + y = 5\) và x = 0

Và dựa vào đó để tìm nghiệm S của hệ bất phương trình

Tập nghiệm S được biểu diễn bằng miền trong của tam giác ABC với:

\(A\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right);B\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right);C\left( {4;1} \right)\)

Câu b:

Tại \(A\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow F =  - \frac{4}{3}\)

Tại \(B\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right) \Rightarrow F = \frac{1}{3}\)

Tại C(4'1) thì F = - 3

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại C(4;1)

---

Một nhà khoa học nghiên cứ về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. kết quả như sau:

i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày

a) Gọi c là số tiền vitamin mà bạn phải trả (tính bằng đồng). hãy viết phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các phương trình biểu thị i), ii) và iii) , lập thành một hệ bất phương trình rồi biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình đó.

c) Cũng trên mặt phẳng tọa độ ấy, hãy vẽ đường biểu diễn số tiền phải trả c, nếu c =9000, c = 4500; c = 2250

Hãy dùng bút màu để phân biệt các đường đó

d) Tìm phương tán dùng hai loại virtamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất.

Hướng dẫn giải:

Câu a: 

c = 9x + 7,5y

Câu b:

Theo bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 600\\
0 \le y \le 500\\
400 \le x + y \le 1000\\
\frac{1}{2}x \le y \le 3x
\end{array} \right.\)

Miền nghiệm trên là miền đa giác MNPQRS (kể cả biên trên hình)

 

Câu c:

Số tiền đạt giá trị nhỏ nhất tại M(100,300) nên phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B mỗi ngày.

Chi phí mỗi ngày là 3150 đồng

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 135) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.