Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 7 Bất phương trình bậc hai

Giải các bất phương trình

a) - 5x² + 4x + 12 < 0

b) 16x² + 40x +25 < 0

c) 3x² - 4x+4 ≥ 0

d) x² - x - 6 ≤ 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \( - 5{x^2} + 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{6}{5}\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu

 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{6}{5}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có \(16{x^2} + 40x + 25 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l}
a = 16 > 0\\
\Delta ' = 200 - 16.25=-200 < 0\\
 \Rightarrow 16{x^2} + 40x + 25 \ge 0,\forall x \in R
\end{array}\)

Vậy S = Ø

Câu c:

Ta có:

a = 3

Δ’ = 4 – 12 = - 8 < 0

⇒ 3x² - 4x + 4 ≥ 0, ∀x ∈ R

Vậy S = R

Câu d:

Ta có: \({x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x =  - 2
\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [- 2;3]

---

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{{{x^2} - 9x + 14}}{{{x^2} - 5x + 4}} > 0\)

b) \(\frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le  - 1\)

c) (2x + 1)(x² + x – 30) ≥ 0

d) x⁴ – 3x² ≤ 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 9x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 7
\end{array} \right.\\
{x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng xét dấu

 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;4} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le  - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 4x - 4}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.\\
{x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng xét dấu

 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {1;3} \right] \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\\
{x^2} + x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x =  - 6
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng xét dấu

  

Vậy tập nghiệm lả \(S = \left[ { - 6; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)

Câu d:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^4} - 3{x^2} \le 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 3} \right) \le 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 3 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \sqrt 3  \le x \le \sqrt 3 
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\)

---

Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.

a) (m-5)x² - 4mx + m – 2 = 0    (1)

b) (m+1)x² + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0    

Hướng dẫn giải:

Câu a:

• Với m = 5 thì (1) trở thành \( - 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{{20}}\)
• Với \(m \ne 5\) thì (1) có nghiệm 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \Delta ' = 4{m^2} - \left( {m - 5} \right)\left( {m - 2} \right) \ge 0}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m - 10 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le  - \frac{{10}}{3}\\
m \ge 1
\end{array} \right.
\end{array}
\end{array}\)

Câu b:

(m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0    (2)

Với m = - 1 thì phương trình (2) trở thành 

Với \(m \ne  - 1\) thì phương trình (2) có nghiệm

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \Delta ' = {{\left( {m - 1} \right)}^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 3} \right) \ge 0}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow  - {m^2} - m + 4 \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}
\end{array}
\end{array}\)

---

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x + 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} + 9x + 7 > 0}\\
{{x^2} + x - 6 < 0}
\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2{x^2} - 5x + 4 < 0}\\
{ - {x^2} - 3x + 10 \ge 0}
\end{array}} \right.\)

d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} + x - 6 > 0}\\
{3{x^2} - 10x + 3 > 0}
\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x + 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x <  - \frac{7}{2}\\
x >  - 1
\end{array} \right.\\
 - 3 < x < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 2\)

Vậy tập nghiệm của hệ là S = (- 3;2)

Câu b:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} - 5x - 6 \le 0\\
 - 4{x^2} + 12x - 5 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - \frac{3}{4} \le x \le 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{2}\\
x > \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le x < \frac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left[ { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right]\)

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
 - 2{x^2} - 5x + 4 < 0\\
 - {x^2} - 3x + 10 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 5x - 4 \ge 0\\
{x^2} + 3x - 10 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{{ - 5 - \sqrt {57} }}{4}\\
x \ge \frac{{ - 5 + \sqrt {57} }}{4}
\end{array} \right.\\
 - 5 \le x \le 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 5 \le x \le \frac{{ - 5 - \sqrt {57} }}{4}\\
\frac{{ - 5 + \sqrt {57} }}{4} \le x \le 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left[ { - 5;\frac{{ - 5 - \sqrt {57} }}{4}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 5 + \sqrt {57} }}{4};2} \right]\)

Câu d:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + x - 6 > 0\\
3{x^2} - 10x + 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x <  - 2\\
x > \frac{3}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{3}\\
x > 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 2\\
x > 3
\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 7 Bất phương trình bậc hai với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.