Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 2 Bài 2 Tích vô hướng của hai vectơ

Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\), do đó:

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b >0\) khi \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0\) và góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < 90^0\)
• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b < 0\) khi \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0\) và góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > 90^0\)
• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b =0\) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b\)

---

Cho tam giác ABC. Tổng \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right)\) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 90⁰; 180⁰; 270⁰; 360⁰ ?

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \widehat B;\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^0} - \widehat C;\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {180^0} - \widehat A\\
 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {360^0}
\end{array}\)

---

Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 30⁰. Tính giá trị của các biểu thức sau

a) (\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \sin \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \tan \frac{{\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)}}{2}\)

b) \(\sin \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {150^0};\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {30^0};\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}\)

Suy ra 

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \sin \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \tan \frac{{\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)}}{2}\\
 = \cos {150^0} + \sin {30^0} + \tan {60^0} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} + \sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}
\end{array}\)

Câu b:

Ta có \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}\), do đó:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)\\
 = \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0 = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)

---

 

Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  =  0 \).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\
 = \overrightarrow {DA} \left( {\overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {DB} \left( {\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DC} \left( {\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC} } \right)\\
 = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DA}  =  0 
\end{array}\)

Gọi D là giao điểm của hai đường cao AA′, BB' của tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  = 0,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  = 0\)           

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  = 0,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  = 0\), do đó DC ⊥ AB. Vậy D nằm trên đường cao CC′ của tam giác ABC, tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.

---

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = A{B^2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = {\overrightarrow {BA} ^2} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow BA \bot AC
\end{array}\)                                  

⇔Tam giác ABC vuông tại A.

Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\
\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\
\overrightarrow {CF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right)
\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \\
 = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} } \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} } \right) = 0
\end{array}\) 

Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM, BN.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)

b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo R.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right).\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \left( {do\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AI}  = 0} \right)\\
\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AN} } \right).\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \left( {do\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BI}  = 0} \right)
\end{array}\)

Câu b:

Theo câu a), ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \\
 = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {BI} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  = A{B^2} = 4{R^2}
\end{array}\)

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D đều khác M sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D′ là giao điểm của b với (O) (D′ ≠ C).

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {MC} \left( {\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MD'} } \right) = 0\\
 \Rightarrow \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {D'D}  = 0
\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {D'D}  = 0\) (Do M, C, D, D′ cùng thuộc đường thẳng b)

⇒ D ≡ D′.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k². Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA²−MB² = k^2.  

Hướng dẫn giải:

Gọi O là trung điểm đoạn AB, H là hình chiếu của MM lên AB. Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{A^2} - M{B^2} = {k^2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {k^2}\\
 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right) = {k^2}\\
 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA}  = {k^2}\\
 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HO} } \right).\overrightarrow {BA}  = {k^2}\\
 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HO} .\overrightarrow {BA}  = {k^2}\left( {do\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {BA}  = 0} \right)
\end{array}\)

Suy ra H cố định nằm trên tia OB và \(OH = \frac{{{k^2}}}{{4a}}\)

Do H là hình chiếu của M lên AB nên tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H, H nằm trên tia OB sao cho \(OH = \frac{{{k^2}}}{{4a}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

a) Tìm các giá trị của k để \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \);

b) Tìm các giá trị của k để \(\left| {\overrightarrow u } \right| \bot \left| {\overrightarrow v } \right|\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right);\overrightarrow v  = \left( {k; - 4} \right)\)

Câu a:

\(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}k + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow k =  - 40\)

Câu b:

\(\left| {\vec u} \right| \bot \left| {\vec v} \right| \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{4} + 25}  = \sqrt {{k^2} + 16}  \Leftrightarrow \frac{{101}}{4} = {k^2} + 16 \Leftrightarrow k =  \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\)

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).

a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right)\). Suy ra: 

\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = \sqrt {45}  = 3\sqrt 5 \\
AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {45}  = 3\sqrt 5 \\
BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = \sqrt {36}  = 6
\end{array}\)

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Chu vi tam giác ABC là \(3\sqrt 5  + 3\sqrt 5  + 6 = 6\sqrt 5  + 6\).

Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác ABC.

Ta có M(2;1), \(\overrightarrow {AM}  = \left( {6;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{6^2} + 0}  = 6\).

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AM = \frac{1}{2}.6.6 = 18\)

Câu b:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4 + 2 + 2} \right) = 0\\
{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 4 - 2} \right) = 1
\end{array} \right.\)

Vậy G(0;1).

Gọi H(x_H,y_H) là trực tâm tam giác ABC. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_H} + 4} \right).0 + \left( {{y_H} - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0\\
\left( {{x_H} - 2} \right).6 + \left( {{y_H} - 4} \right).\left( { - 3} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_H} = \frac{1}{2}\\
{y_H} = 1
\end{array} \right.\)

Vậy \(H\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Gọi I(x_I,y_I) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
A{I^2} = B{I^2}\\
A{I^2} = C{I^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x_I} + 4} \right)^2} + {\left( {{y_I} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_I} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_I} - 4} \right)^2}\\
{\left( {{x_I} + 4} \right)^2} + {\left( {{y_I} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_I} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_I} + 2} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x_I} + 2{y_I} = 1\\
4{x_I} - 2{y_I} =  - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} =  - \frac{1}{4}\\
{y_I} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(I\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\).

Khi đó, ta có \(\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{4};0} \right),\overrightarrow {IH}  = \left( {\frac{3}{4};0} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {IG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {IH} \).

Suy ra I, G, H thẳng hàng.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 2 Bài 2 Tích vô hướng của hai vectơ với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.