Bài 1 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số)
a) (2sin300+cos1350−3tan1500)(cos1800−cot600)
b) sin2900+cos21200+cos200−tan2600+cot21350
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\cos {135^0} = \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) = - \cos {45^0} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\tan {150^0} = \tan \left( {{{180}^0} - {{30}^0}} \right) = - \tan {30^0} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
Do đó
(2sin300+cos1350−3tan1500)(cos1800−cot600)
\( = \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 3 - 1} \right)\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Câu b:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\cos {120^0} = \cos \left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) = - \cos {60^0} = - \frac{1}{2}\\
\cot {135^0} = \cot \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) = - \cot {45^0} = - 1
\end{array}\)
Do đó:
sin2900+cos21200+cos200−tan2600+cot21350
\( = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}\)
Bài 2 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Đơn giản các biểu thức
a) sin1000+sin800+cos160+cos1640
b) 2sin(1800−α)cotα−cos(1800−α)tanαcot(1800−α) với 00 < α < 900.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có
sin1000 = sin(1800−800) = sin800; cos1640 = cos(1800−160) = −cos160
⇒ sin1000+sin800+cos160+cos1640 = sin800+sin800+cos160−cos160 = 2sin800.
Câu b:
Ta có
2sin(1800−α)cotα−cos(1800−α)tanαcot(1800−α)
\(\begin{array}{l}
= 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\
= 2\cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha
\end{array}\)
Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh các hệ thức sau:
a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = )
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \)
c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {{0^0} < \alpha < {{180}^0}} \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Giả sử M(x;y) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có
Suy ra sin2α+cos2α = x2+y2 = OM2 = 1.
Câu b:
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) (đpcm)
Câu c:
Ta có: \(1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 2 Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.
