Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 1 Bài 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì em hãy chỉ rõ nó đúng hay nó sai.

a) Hãy đi nhanh lên!;

b) 5 + 4 + 7 = 15;

c) Năm 2002 là năm nhuận.

Hướng dẫn giải:

Các câu b) và c) là mệnh đề, ở đó c) là mệnh đề đúng còn b) là mệnh đề sai. Câu a) không phải là mệnh đề.

Nếu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai.

a) Phương trình x² - 3x + 2 = 0 có nghiệm;

b) 2¹⁰ - 1 chia hết cho 11;

c) Có vô số số nguyên tố.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Mệnh đề phủ định là: “Phương trình x² - 3x + 2 = 0 vô nghiệm”. Đây là một mệnh đề sai vì phương trình x² - 3x + 2 = 0 có hai nghiệm là x₁ = 1, x₂ = 2.

Câu b:

Mệnh đề phủ định là: “2¹⁰ - 1 không chia hết cho 11”. Đây là mệnh đề sai vì 2¹⁰ - 1 = 1023 chia hết cho 11.

Câu c:

Mệnh đề phủ định là: “Có hữu hạn các số nguyên tố”. Đây là mệnh đề sai.

Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”.

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.

Phát biểu mệnh đề, P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Hướng dẫn giải:

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách.

Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.

Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.

Mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

Cho mệnh đề chứa biến P(n): “n² - 1 chia hết cho 4”, với n là số nguyên. Xét xem mệnh đề P(5) và P(2) đúng hay sai.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề P(5): “5² - 1 chia hết cho 4” là mệnh đề đúng, mệnh đề P(2): “2² - 1 chia hết cho 4" là mệnh đề sai.

Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đó:

a) ∀n ∈ N*, n² - 1 là bội số của 3;

b) ∀x ∈ R, x² - x + 1 > 0;

c) 3x ∈ Q, x² = 3;

d) 3n ∈ N, 2n + 1 là số nguyên tố.

e) ∀n ∈ N, 2n ≥ n + 2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Mệnh đề sai (chẳng hạn, với n = 3 thì 3² - 1 = 8 không là bội số của 3). Ta có mệnh đề phủ định: “∃n ∈ N*, n² - 1 không là bội số của 3”.

Câu b:

Mệnh đề đúng (vì \({x^2} - x + 1 = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi số thực x)

Ta có mệnh đề phủ định: “∃x ∈ R, x² - x + 1 ≤ 0)”.

Câu c:

Mệnh đề sai (mệnh đề này có nghĩa là \(\sqrt 3 \) là một số hữu tỷ). Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ Q, x² ≠ 3”.

Câu d:

Mệnh đề đúng (chẳng hạn n = 2, khi đó 2² + 1 = 5 là số nguyên tố). Mệnh đề phủ định: “∀n ∈ N, 2n + 1 là hợp số”.

Câu e:

Mệnh đề sai (chẳng hạn với n = 1 thì 2.1 < 1 + 2 = 3). Mệnh đề phủ định là: “∃n ∈ N, 2n < n + 2”.

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 10 Chương 1 Bài 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 học tập thật tốt!