| SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC | KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA Năm học 2019 – 2020 |
| (Đề thi gồm có 01 trang) | Môn thi : TOÁN Thời gian : 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 09/10/2019 |
Câu 1. (3,0 điểm) Giải phương trình: \({x^3} - 2x - 3 = \sqrt[3]{{3\left( {x + 1} \right)}}\).
Câu 2. (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình
\({x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x = 2\)
luôn có một nghiệm dương duy nhất. Ký hiệu nghiệm dương đó là xn, chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên cạnh BC (\(M \ne B,M \ne C\)). Gọi (X), (Y) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB và MAC. Lấy điểm S thuộc (X) sao cho MS song song với AB; lấy điểm T thuộc (Y) sao cho MT song song với AC.
a) Chứng minh rằng các điểm A, O, T, S nằm trên một đường tròn.
b) Gọi E là giao điểm khác A của (X) và AC, F là giao điểm khác A của (Y) và AB. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua O khi và chỉ khi AM đi qua tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ABC.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho p là một số nguyên tố, p > 2 và các số nguyên \({a_1};\,{a_2};\,...;{a_p}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số k thuộc tập {1;2;...;p} sao cho \({a_1}{a_2}...{a_p} + {a_k}\) chia hết cho p2.
Câu 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn điều kiện:
\({\left[ {P\left( x \right)} \right]^3} - 3{\left[ {P\left( x \right)} \right]^2} = P\left( {{x^3}} \right) - 3P\left( { - x} \right)\) với mọi \[x \in R\).
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n với \(n \ge 2\) sao cho trên mặt phẳng tồn tại n điểm phân biệt, mỗi điểm được gán một số thực dương mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng bằng tổng hai số được gán ở hai điểm đó.
Câu 7. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(xy + yz + zx = 3\). Chứng minh rằng
\({x^3} + {y^3} + {z^3} + 7xyz \ge 10\).
{-- xem tiếp nội dung Đề thi HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 có đáp án Sở GD & ĐT Quảng Nam ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 có đáp án Sở GD & ĐT Quảng Nam. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án câu hỏi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong bài thi sắp tới.
