| BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 26/12/2020 |
Bài 5 (6,0 điểm)
Cho đa thức \(P\left( x \right) = {a_{21}}{x^{21}} + {a_{20}}{x^{20}} + ... + {a_1}x + {a_0}\) có các hệ số thuộc [1011,2021]. Biết rằng P(x) có nghiệm nguyên và c là một số dương sao cho \(\left| {{a_{k + 2}} - {a_k}} \right| \le c\) với mọi \(k \in \left\{ {0,1,...,19} \right\}\).
a) Chứng minh rằng P(x) có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh \(\sum\limits_{k = 0}^{10} {{{\left( {{a_{2k + 1}} - {a_{2k}}} \right)}^2}} \le 440{c^2}.\)
Bài 6 (7,0 điểm)
Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau đó chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp( hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)
b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng 1 hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).
Bài 7 (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) tại B và C. Đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B cắt trung tuyến đi qua A của tam giác ABC tại G. Cho BG, CG lần lượt cắt CD, BD tại E, F.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của BE và CF lần lượt cắt BF, CE tại M, N. Chứng minh rằng các điểm A, D, M, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho AD, AG lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC, GBC tại H, K. Trung trực của HK, HE, HF lần lượt cắt BC, CA, AB tại R, P, Q. Chứng minh rằng các điểm R, P, Q thẳng hàng.
---HẾT---
* Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu và máy tính cần tay.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN
...
---(Để xem nội dung đáp án của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là 1 phần trích đoạn nội dung tài liệu Đề thi chọn HSG QG THPT môn Toán vòng 2 (26-12) năm học 2020-2021 Bộ GD&ĐT có đáp án chi tiết. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
