| TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU (Đề thi gồm 01 trang) | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề) |
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2019\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
b) Cho hàm số \(y = \frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y = 2x - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45o.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau \(\frac{{\cos x\left( {2\sin x + 1} \right)}}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right)}} = \sqrt 3 \).
b) Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 3\sqrt {{x^2}y + 3y} + 3 = 0\\ \sqrt {{x^2} + 3x - y + 5} + \sqrt[3]{{3x - 2}} = 2 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = a, AC = 2a, \(AA' = \frac{{3a\sqrt 6 }}{2}\) và góc \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là điểm trên cạnh CC' sao cho \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MC'} \).
a) Chứng minh rằng \(AM \bot B'M\).
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A' đến mặt phẳng \(\left( {AB'M} \right)\).
Câu 4 (1,0 điểm) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}},{\rm{ }}\left( {n \in {N^*}} \right)\).
Tính \(\lim \left( {{u_1}{u_2}{u_3} \ldots {u_n}} \right)\).
Câu 5 (1,0 điểm) Cho đa giác lồi (H) có n đỉnh (\(n \in N,n > 4\)). Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H). Xác định n.
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là x - y + 1 = 0, điểm G(1;4) là trọng tâm tam giác ABC, điểm E(0;-3) thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương.
Câu 7 (1,0 điểm) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{1}{{{a^2} + b + c}} + \frac{1}{{{b^2} + c + a}} + \frac{1}{{{c^2} + a + b}} \le 1\)
---HẾT---
HƯỚNG DẪN CHẤM
| Câu | Đáp án | Điểm |
| 1 | a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + 2019\) đồng biến trên . | 1 |
| Ycbt \( \Leftrightarrow y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\) | 0,25 | |
| \( \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 2x + 6}}{{{x^2} - 2x + 3}} = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( x \right)\) | 0,25 | |
| Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 6x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 + \sqrt 6 \left( {tm} \right)\\ x = 3 - \sqrt 6 \left( {ktm} \right) \end{array} \right.\) | 0,25 | |
| Kết luận | 0,25 | |
| b) Cho hàm số \(y = \frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y = 2x - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng 45o. | 1 | |
| Phương trình hoành độ: \(\frac{{mx - m + 2}}{{x + 1}} = 2x - 1 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3 - m} \right) = 0,\left( {x \ne - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{{m - 3}}{2} \end{array} \right.\) | 0,25 | |
| Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi \(m \ne 1 \wedge m \ne 5\). Khi đó, \(A\left( {1;1} \right),B\left( {\frac{{m - 3}}{2};m - 4} \right)\). | 0,25 | |
| Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc 45o là: \(\left| {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} } \right| = OA.OB.cos45^\circ \Leftrightarrow \left| {\frac{{m - 3}}{2} + m - 4} \right| = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{m - 3}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \) | 0,25 | |
| \( \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 4 \end{array} \right.\left( {tm} \right)\) | 0,25 | |
| 2 | a) Giải phương trình lượng giác sau \(\frac{{\cos x\left( {2\sin x + 1} \right)}}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x - 1} \right)}} = \sqrt 3 \). | 1 |
|
| ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne - 1\\ \sin x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.\). Phương trình đã cho biến đổi thành: \(\sin 2x + \cos x = \sqrt 3 \left( {2{{\sin }^2}x + \sin x - 1} \right)\) \(\Leftrightarrow \sin 2x + \cos x = \sqrt 3 \left( {\sin x - \cos 2x} \right)\) | 0,25 |
| \( \Leftrightarrow \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = \sqrt 3 \sin x - \cos x \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\) | 0,25 | |
| \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{3} = - x + \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {ktm} \right)\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k.\frac{{2\pi }}{3}\left( {tm} \right) \end{array} \right.\) | 0,25 | |
| Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k.\frac{{2\pi }}{3},\left( {k \in Z} \right)\) | 0,25 |
---Để xem đầy đủ đáp án của đề thi các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của trường THPT Đồng Đậu có đáp án chi tiết. Để xem thêm các nội dung khác các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem và tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
