Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

(3,0đ)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m + 3)\)

Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow y' \le 0,\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2m(x - 1) \ge {x^2} + 3 \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 2}},\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 3}}{{2x - 2}}\) trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(f'(x) = \frac{{(x + 1)(2x - 6)}}{{{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} < 0,\;\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Từ bảng biến thiên suy ra  \(m \le - \frac{{13}}{4}.\)

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2

(4,0đ)

1

(1,0đ)

Giải:  Điều kiện: \(- 3 \le x \le 2.\)

Phương trình đã cho tương đương với 

\(19 + 3x + 4\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} = 6\left( {\sqrt {2 - x} + 2\sqrt {3 + x} } \right)\;\)

Đặt \(t = \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {3 + x} \) ta có \({t^2} = 14 + 3x + 4\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} \),

Phương trình trở thành: \({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 5 \end{array} \right.\)

Với t = 1 ta có \(\sqrt {2 - x} + 2\sqrt {3 + x} = 1 \Leftrightarrow 3x + 13 + 4\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} = 0\)

Phương trình vô nghiệm do \( - 3 \le x \le 2.\)

Với t = 5 ta có

\(\sqrt {2 - x} + 2\sqrt {3 + x} = 5 \Leftrightarrow 2 - x + 4\left( {3 + x} \right) + 4\sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} = 25\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\sqrt { - {x^2} - x + 6} = 11 - 3x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \frac{{11}}{3}\\ 16( - {x^2} - x + 6) = {\left( {11 - 3x} \right)^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \frac{{11}}{3}\\ 25{x^2} - 50x + 25 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tmk} \right) \end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

0,5

0,5

0,5

0,5

2

(2,0đ)

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 3{x^2} - 6x - 3y + 4\;\left( 1 \right)\\ {x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 8 + \sqrt {5x + 6} + \sqrt {4x - 3y + 14} = 0\;\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{6}{5}\\ 4x - 3y + 14 \ge 0 \end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {y^3} + 3y = {\left( {1 - x} \right)^3} + 3\left( {1 - x} \right)\;(3)\)

Xét hàm số \(f(t) = {t^3} + 3t,\;t \in R\) ta có \(f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0\;\forall t \in R\), hàm số f đồng biến trên R nên từ (3) ta có y = 1 - x.

 Thế vào (2) ta có phương trình:

 \(2{x^2} - 4x - 9 + \sqrt {5x + 6} + \sqrt {7x + 11} = 0\;\left( 4 \right)\) (điều kiện \(x \ge - \frac{6}{5}\))

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = \left( {x + 2 - \sqrt {5x + 6} } \right) + \left( {x + 3 - \sqrt {7x + 11} } \right)\)

\(\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - x - 2} \right) = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - \left( {5x + 6} \right)}}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - \left( {7x + 11} \right)}}{{x + 3 + \sqrt {7x + 11} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - x - 2} \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 3 + \sqrt {7x + 11} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - x - 2 = 0\\ \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {7x + 11} }} = 2\left( * \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Với \(x \ge - \frac{6}{5}\) ta có

\(\frac{1}{{x + 2 + \sqrt {5x + 6} }} + \frac{1}{{x + 3 + \sqrt {7x + 11} }} < \frac{1}{{ - \frac{6}{5} + 2}} + \frac{1}{{ - \frac{6}{5} + 3}} = \frac{{65}}{{36}} < 2\)

Do đó phương trình (*) vô nghiệm, phương trình (4) có hai nghiệm x =  - 1, x = 2.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 

0,5

0,5

0,5

0,5