PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 0: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
Xin mời các em tham khảo video Ôn tập học kì 1 Toán 11: Phần 1 Đại số và Giải tích của Thầy Phạm Sỹ Nam để ôn tập kiến thức trọng tâm của chương trình và nắm các phương pháp làm bài.
Để xem đầy đủ nội dung, các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Chúng tôi tải file PDF tài liệu về máy.
1. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
a. Định nghĩa
.PNG)
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \alpha = \overline {OK} \\ \bullet \,\,\cos \alpha = \overline {OH} \end{array}\) \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \alpha = \overline {AT} \,\,\left( {\alpha \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \bullet \,\,\cot \alpha = \overline {BU} \,\,(\alpha \ne k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z})\end{array}\)
b. Tính chất
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\, - 1\,\, \le \,\,\sin \alpha \le \,\,1,\,\forall \alpha \,\\ \bullet \,\, - 1\,\, \le \,\,\cos \alpha \le \,\,1,\,\forall \alpha \,\end{array}\) \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\alpha \, + k2\pi ) = \sin \alpha \,,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cos (\alpha \, + k2\pi ) = \cos \alpha \,,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\tan (\alpha + k\pi ) = \tan \alpha ,\,k\, \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cot (\alpha + k\pi ) = \cot \alpha ,\,k\, \in \mathbb{Z}\end{array}\) |
c. Các hệ thức cơ bản
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\,\forall \alpha \\ \bullet \,\,\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\,\forall \alpha \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},\,\forall \alpha \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,\tan \alpha .\cot \alpha = 1,\,\forall \alpha \ne k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},\,\forall \alpha \ne (2k + 1)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\\ \bullet \,\,1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\,\forall \alpha \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\) |
| Hai gốc đối nhau | |
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array}\) |
| Hai góc bù nhau | |
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array}\) |
| Hai góc hơn kém nhau \(\pi \) | |
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (\alpha + \pi ) = - \sin \alpha \\ \bullet \,\,\cos (\alpha + \pi ) = - \cos \alpha \end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (\alpha + \pi ) = \tan \alpha \\ \bullet \,\,\cot (\alpha + \pi ) = \cot \alpha \end{array}\) |
| Hai góc hơn kém nhau \(\frac{\pi }{2}\) | |
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha \\ \bullet \,\,\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \alpha \end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \alpha \\ \bullet \,\,\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \tan \alpha \end{array}\) |
| Hai góc phụ nhau | |
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \bullet \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\ \bullet \,\,\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\) |
3. Một số công thức lượng giác
a. Công thức cộng
|
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin (a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\ \bullet \,\,\sin (a - b) = \sin a\cos b - \sin b\cos a\\ \bullet \,\,\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \bullet \,\,\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\end{array}\) |
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\,\,\,\,\,\\ \bullet \,\,\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)
|
b. Công thức nhân đôi
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin 2a = 2\sin a\cos a\\ \bullet \,\,\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\end{array}\) | \( \bullet \,\,\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}},\,\tan a \ne \pm 1\) |
c. Công thức nhân ba
| \( \bullet \,\,\sin 3{\rm{a}} = 3\sin {\rm{a}} - 4{\sin ^3}{\rm{a}}\) | \( \bullet \,\,\cos 3{\rm{a}} = 4{\cos ^3}{\rm{a}} - 3\cos {\rm{a}}\) | \( \bullet \,\,\tan 3a = \frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\) |
d. Công thức hạ bậc
| \( \bullet \,\,{\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}\) | \( \bullet \,\,{\sin ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}\) |
| \( \bullet \,\,{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\) | \( \bullet \,\,{\cos ^3}a = \frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}\) |
| \( \bullet \,\,{\tan ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}\) | \( \bullet \,\,{\tan ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{{3\cos a + \cos 3a}}\) |
d. Công thức tính theo \(t = \tan \frac{a}{2}\)
Đặt \(t = \tan \frac{a}{2}\), \({\rm{a}} \ne (2k + 1)\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
| \(\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) | \(\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) | \(\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\) |
e. Công thức biến đổi tích thành tổng
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\ \bullet \,\,\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\\ \bullet \,\,\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\end{array}\) |
f. Công thức biến đổi tổng thành tích
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\ \bullet \,\,\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a\cos b}}\\ \bullet \,\,\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a\cos b}}\\ \bullet \,\,\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a\sin b}}\\ \bullet \,\,\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a\sin b}}\end{array}\) |
g. Chú ý
| \(\begin{array}{l} \bullet \,\,\sin a + \cos a = \sqrt 2 .\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\sin a - \cos a = \sqrt 2 .\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\cos a + \sin a = \sqrt 2 .\cos \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \bullet \,\,\cos a - \sin a = \sqrt 2 .\cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\\\end{array}\) | \(\begin{array}{l} \bullet \,\,1 + \sin 2a = {(\sin a + \cos a)^2}\\ \bullet \,\,1 - \sin 2a = {(\sin a - \cos a)^2}\\ \bullet \,\,1 + \cos 2a = 2{\cos ^2}a\\ \bullet \,\,1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a\\ \bullet \,\,\sin a\cos a = \frac{1}{2}\sin 2a \Rightarrow {\sin ^n}a{\cos ^n}a = \frac{1}{{{2^n}}}{\sin ^n}2a\\ \bullet \,\,{\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\\ \bullet \,\,{\sin ^6}a + {\cos ^6}a = 1 - 3{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2a = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4a\\ \bullet \,\,{\sin ^8}a + {\cos ^8}a = 1 - 4{\sin ^2}a{\cos ^2}a + 2{\sin ^4}a{\cos ^4}a\end{array}\) |
{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}
Các em quan tâm có thể xem thêm:
- 99 câu Trắc nghiệm Lượng giác Toán 11 có lời giải
- 250 câu Trắc nghiệm Tổ hợp và Xác suất Toán 11 có lời giải
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!
