Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Hiền

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút

 

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình \(x\sqrt x - (1 - x)\sqrt {1 - x} = 2x - 1\).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt x + {y^3} = 1\\ xy + 2\sqrt x {y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.\)

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x({x^2} - 1)m + (m + 1){x^2}}}{{\sqrt {\left| x \right| - {x^2} + 2} }}\) có đồ thị đối xứng qua Oy

b) Cho hàm số y = x² và y = x - 6m. Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A, B phân biệt thỏa AB = \(\sqrt 2 \).

Câu 3 (4,0 điểm).

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa :3 \(xyz = xy + yz + zx\).

Chứng minh \(\frac{1}{{x{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{y{{\left( {3y - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{z{{\left( {3z - 1} \right)}^2}}} \ge \frac{3}{4}\)

Câu 4 (4,0 điểm).

a) Cho tam giácABC.O,G, M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trọng tâm, trung điểm cạnh  AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiếp

b) Cho tam giác ABC có D E,M,G  là các điểm thỏa mãn : \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {AE} = h\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {CM} = k\overrightarrow {CG} \).Tìm h, k để ABC và MDG có cùng trọng tâm.

Câu 5 (4,0 điểm).

a/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0\) và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 60^o.

 b/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(B\left( {\frac{{21}}{5},\frac{3}{5}} \right)\). Đường phân giác ngoài góc BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3).

Phương trình tiếp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x + 2y - 7 = 0. Tìm tọa độ của A biết A có tung độ dương.

ĐÁP ÁN

Câu	Nội dung	Điểm
Câu 1 5,0	a) Giải phương trình \(x\sqrt x - (1 - x)\sqrt {1 - x} = 2x - 1\) (1)	2,0
	ĐK: \(x \in \left[ {0,1} \right]\). Đặt \(a = \sqrt x ,b = \sqrt {1 - x} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1,{a^2} - {b^2} = 2x - 1\)  Khi đó: (1) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l} a = b{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{x = 1/2(tm) }}\\ {a^2} + ab + {b^2} = \left( {a + b} \right){\rm{ }}(2) \end{array} \right.\) (2) ⇔ 1 + ab = a + b ⇔ \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l} a = 1 \Leftrightarrow x = 0\\ b = 1 \Leftrightarrow x = 1 \end{array} \right.\) KL phương trình có nghiệm x=0,x=1/2,x=1	0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0.25 0.25
	b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt x + {y^3} = 1\\ xy + 2\sqrt x {y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.\)	2,0
	Đk: \(x \ge 0\) Đặt \(a = \sqrt x ,b = y\) \(\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt x + {y^3} = 1\\ xy + 2\sqrt x {y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + {b^3} = 1\\ {a^2}b + 2a{b^2} + {b^3} = 2 \end{array} \right.\) (I) \( \Rightarrow 2({a^3} + {b^3}) - ({a^2}b + 2a{b^2} + {b^3}) = 0\) \( \Leftrightarrow 2{a^3} + {b^3} - {a^2}b - 2a{b^2} = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a = - b\\ a = \frac{b}{2} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} * a = b \Rightarrow a = b = \sqrt[3]{{1/2}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{1/4}},y = \sqrt[3]{{1/2}}\\ * a = - bv(VN)\\ * a = \frac{b}{2} \Rightarrow a = 2\sqrt[3]{{\frac{1}{9}}},b = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}} \Rightarrow x = 8.\sqrt[3]{{1/81}},y = \sqrt[3]{{1/9}} \end{array}\) Kết luận	0,25 0,25   0,25   0,25   0,25   0,25 0,25   0,25

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \left| {1 - 2x} \right|} }} + \sqrt {{x^2} - 7x + 6} \)

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số \(y = {x^2} + 2mx - 3m\) và hàm số y =  - 2x + 3. Tìm m để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho \(AB = 4\sqrt 5 \).

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm m để phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + m} = x + 1\) có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tham số m để bất phương trình \(\frac{{x + 1}}{{m{x^2} - 4x + m - 3}} < 1\) có tập nghiệm là R.

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình \(2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} \)

Câu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4x + 10y} - \sqrt {2x + 2y} = 4\\ x + 2y + \frac{{2\sqrt {2{x^2} + 7xy + 5{y^2}} }}{3} = 24 \end{array} \right.\)

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a.

Câu 8 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là \(\left( d \right):x + y - 2 = 0\). Biết \(\widehat {ABC} = {120^0}\) và A(3;1). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.

Câu 9 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết \(IG \bot IC\). Chứng minh rằng \(\frac{{a + b + c}}{3} = \frac{{2ab}}{{a + b}}\) (Với AB = c,BC = a,CA = b).

Câu 10 (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn \(a + b + c \le \frac{3}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S = \sqrt {{a^2} + \frac{1}{{{b^2}}}} + \sqrt {{b^2} + \frac{1}{{{c^2}}}} + \sqrt {{c^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \).

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

3. ĐỀ SỐ 3

Câu I (6 điểm)

1) Cho parabol \((P):y = 2{x^2} + 6x - 1\);

Tìm giá trị của k để đường thẳng \(\Delta :y = (k + 6)x + 1\) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng \(d:y = - 2x + \frac{3}{2}\)

2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): \({x^2} - 2(m - 1)x - {m^3} + {(m + 1)^2} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} + {x_2} \le 4\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P = x_1^3 + x_2^3 + {x_1}{x_2}\left( {3{x_1} + 3{x_2} + 8} \right)\)

Câu II (5 điểm):

1) Giải bất phương trình: \((x + 1)(x + 4) \le 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \quad (x \in R)\)

2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 2y - 6 + 2\sqrt {2y + 3} = 0\\ (x - y)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2 \end{array} \right.\quad (x;y \in R)\)

Câu III (2 điểm). Cho x > 0, y > 0 là những số thay đổi thỏa mãn \(\frac{{2018}}{x} + \frac{{2019}}{y} = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y

Câu IV (4 điểm)

1) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b diện tích bằng S.

Tính số đo các góc của tam giác này biết \(S = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\).

Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

Câu IV (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD. Biết diện tích hình thang bằng 14 (đơn vị diện tích), đỉnh A(1;1) và trung điểm cạnh BC là \(H\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d:5x - y + 1 = 0.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (3.0 điểm). Cho hàm số \(y = {x^2} - 4x + 4 - m\;;\quad \left( {{P_m}} \right)\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

b) Tìm m để (P_m) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn [-1;4]

Câu 2. (3.0 điểm) Cho x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + a = 0\); x₃ và x₄ là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 12x + b = 0\). Biết rằng \(\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_3}}}{{{x_2}}} = \frac{{{x_4}}}{{{x_3}}}\). Tìm a và b.

Câu 3. (6.0 điểm)

a) Giải phương trình: \(\left( {{x^2} - x - 2} \right)\sqrt {x - 1} = 0\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = {y^3} + y}\\ {4x + 6\sqrt {x - 1} + 7 = \left( {4x - 1} \right)y} \end{array}} \right.\)

Câu 4. (3.0 điểm)

a) Cho tam giác OAB. Đặt \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Gọi C, D, E là các điểm sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2.\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} \). Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {OC} ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \). Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh \(EC \bot ED\)

Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \(A\left( { - 1;1} \right);\;B\left( {2;4} \right)\).

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{\sqrt {2019 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {2019 - y} }}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (3.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1. \(\sqrt {3{x^2} - 2x + 3} = 3x - 1\)

2. \(\frac{2}{{\sqrt {3x + 1} }} + \sqrt {3x + 1} > 3\)

3. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right) + xy = 9\\ x + y + xy = 3 \end{array} \right.\)

Câu 2 (2.0 điểm). Cho \(f(x) = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1\)

1. Tìm m để f(x) > 0 với \(\forall x \in R\)

2. Biết m = 2, tìm x để \(f(x) = 2\sqrt {5x - 1} - \sqrt {5{x^2} + x + 3} \)

Câu 3 (2.0 điểm)

1. Cho \(\alpha\) là góc thỏa mãn điều kiện \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin\alpha = \frac{1}{3}\). Tính A = \(3\cos \alpha + 4\tan \alpha \)

2. Cho ba số thực dương x, y, z chứng minh rằng:

\(\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{y}{{z + x}} + \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{z}{{x + y}} + \frac{1}{2}} \right) \ge 1\)

Câu 4 (3.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2),  B(3; 1) , C(-1; 3) .

1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC

3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT Nguyễn Hiền. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Con Đuông

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Trưng Vương

• Bộ 5 đề thi thử chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Huy Hiệu

Chúc các em học tốt!