Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Liễn Sơn

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút

 

Câu I (1,5 điểm)

1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {10 - x} }} - \frac{x}{{\sqrt {10 + x} }} \cdot \)

2) Cho các nửa khoảng \(A = (a{\rm{; }}a + 1]{\rm{,}}B = [b{\rm{; }}b + 2).\) Đặt \(C = A \cup B.\) Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.

Câu II (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình \(\left| {{x^2} - 1} \right| = {m^4} - {m^2} + 1\) có bốn nghiệm phân biệt.

2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: \(\frac{{\left( {m - 1} \right)x + 2}}{{x - 2}} < m + 1\).

Câu III (2,5 điểm)

1) Giải phương trình \({x^2} - 7x + 8 = 2\sqrt x .\)

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {7x + y} + \sqrt {2x + y} = 5\\ x - y + \sqrt {2x + y} = 1. \end{array} \right.\)

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và \(\widehat {BAC} = {60^0}.\) Các điểm M, N được xác định bởi \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NA} \). Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.

2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi S_a, S_b, S_c và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt {{S_a}} + \sqrt {{S_b}} + \sqrt {{S_c}} \le \frac{3}{2}\sqrt S .\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

Câu V (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R  không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình : \(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) - m + 1 = 0\) (1)

a. Giải phương trình (1) với m = 5.

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn \({x^2} + 6x + 7 \le 0\).

Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình : \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 4} + \sqrt {{x^4} + 20{x^2} + 4} = 7x\)

Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình : \(\sqrt {3{x^2} - 2x + 15} + \sqrt {3{x^2} - 2x + 8} \ge 7\)

Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l} y + {y^2}x = - 6{x^2}\\ 1 + {x^3}{y^3} = 19{x^3} \end{array} \right.\)

Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho \(BM = a,\,\,CN = 2a,\,\,AP = \frac{{4a}}{5}\). Chứng minh \(AM \bot PN\).

Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;3). Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm \(M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\) là trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ đỉnh C, biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x + y + 7 = 0.

Câu 7. (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{{a^3} + {b^2} + c}} + \frac{b}{{{b^3} + {c^2} + a}} + \frac{c}{{{c^3} + {a^2} + b}}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: (6 điểm) Cho \(f(x) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - m + 1\)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: \(f(x) = mx + {m^2} - 1\) có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình: f(x) > 0 nhận mọi \(x \in R\) làm nghiệm.

Câu 2: ( 6 điểm )

a) Giải phương trình: \(x + 2.\sqrt {7 - x} = 2.\sqrt {x - 1} + \sqrt { - {x^2} + 8x - 7} + 1\).

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} xy - {y^2} + 2y - x - 1 = \sqrt {y - 1} - \sqrt x \\ 3.\sqrt {6 - y} + 3.\sqrt {2x + 3y - 7} = 2x + 7 \end{array} \right.\)

Câu 3: ( 6 điểm )

a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho \(\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {.MC} \), N thuộc BM sao cho \(\overrightarrow {NB} = - 3.\overrightarrow {NM} \), P thuộc BC sao cho \(\overrightarrow {PB} = k.\overrightarrow {PC} \). Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử H(-1;3), phương trình đường thẳng AE: 4x + y + 3 = 0 và \(C\left( {\frac{5}{2};4} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.

Câu 4: (2 điểm)

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  nhất của biểu thức: \(P = \frac{{4{x^2} + 2xy - 1}}{{2xy - 2{y^2} + 3}}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: (4 điểm)

 a) Giải phương trình : \({x^2} - 2x - 3 = \sqrt {x + 3} \)

 b) Giải bất phương trình: \(\frac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{x - 1}} < 1\)

Câu 2: (4 điểm)

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = m - 2\\ {x^2} + {y^2} + 2x + 2y = - {m^2} + 4 \end{array} \right.\)

a) Giải hệ phương trình khi m = -1

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(A = xy + 2\left( {x + y} \right) + 2012\).

Câu 3: (2điểm)

Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn -3

\({x^4} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + 6m - 2 = 0\)

Câu 4: (4 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(4;3). Tìm tọa  độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng 45^o.

b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\) và điểm M(7;3). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho MA = 3MB

Câu 5: (4điểm)

a)Tìm m để hệ bất phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l} x - \frac{1}{2} \ge \frac{x}{4} + 1\\ {x^2} - 2mx - 2m - 1 \le 0 \end{array} \right.\) có nghiệm

b)Tìm m để phương trình : \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {4x - {x^2} - 3} = m\) có nghiệm

Câu 6: (2điểm)

Cho các số dương a, b, c: ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{1 + {a^2}(b + c)}} + \frac{1}{{1 + {b^2}(c + a)}} + \frac{1}{{1 + {c^2}(a + b)}} \le \frac{1}{{abc}}.\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (4 điểm)  

a) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 8\sqrt {xy - 2y} - 8y + 4 = {\left( {x - y} \right)^2}\\ \sqrt {2x - 7} + \sqrt {y - 1} = \frac{{3x - 8}}{2} \end{array} \right.\)

b) Giải phương trình sau trên tập số thực \(4\sqrt {x + 1} + 2\sqrt {2x + 3} = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\)

Câu 2 (3 điểm)  Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{{\sqrt {ab + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {bc + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {ca + {a^2}} }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Câu 3 (6 điểm ) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). B’ là điểm đối xứng với B qua AC. BM là trung tuyến của tam giác ABC, BM cắt (O) tại N. Lấy K sao cho AKCN là hình bình hành. HM cắt (O) tại D. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Chứng minh rằng

a, BD, HK, AC đồng quy

b, KB’ cắt AC tại P. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC giao AB tại X khác B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP giao với BC tại Y khác B. Chứng minh đường tròn (BXY) đi qua điểm K.

Câu 4 (4 điểm) Tìm  nguyên tố thỏa mãn 2^p + 9 | 3^p + p

Câu 5 (3 điểm) Cho 81 số nguyên dương phân biệt sao cho các ước nguyên tố của chúng thuộc tập  {2,3,5}. Chứng minh rằng tồn tại 4 số trong 81 số trên mà tích của chúng là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên nào đó.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT Liễn Sơn. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A

• Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Trưng Vương

Chúc các em học tốt!