Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A

TRƯỜNG THPT CHƯƠNG MỸ A

ĐỀ THI HSG LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút

 

Câu 1 ( 6 điểm) Cho hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 2\), với m là tham số.

1) Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-3;1).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn -4.

3) Tìm các giá trị của tham số  để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Biết M(1;2)

Câu 2 ( 6 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1) \(9{x^2} - 8x + 5 = (6x - 3)\sqrt {{x^2} + 3} {\rm{ }}\)

2) \(({x^2} - 4x + 3)({x^2} - 8x + 12) \le 3{x^2}\)

3) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + {y^2} - 6xy + 3x - 5y = 0}\\ {2y(3{x^2} + {y^2}) = 7} \end{array}} \right.\)

Câu 3( 3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi \(S = 3\sqrt 3 {r^2}\)

Câu 4 ( 3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy lớn CD. Biết BC = 2AB = 2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình \(x - \sqrt 3 y + 3 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh  A  biết  A có tung độ nguyên.

Câu 5 (2 điểm) Cho các số dương a, b, c sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{{a^2} + {b^2}}}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 1 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I (2+2=4 điểm)

Cho parabol \((P):y = a{x^2} + bx - 1\)

1) Tìm các giá trị của a, b để parabol có đỉnh \(S\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 11}}{2}} \right)\).

2) Với giá trị của a, b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng \(\Delta :y = x(k + 6) + 1\) cắt parabol tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: 4x + 2y - 3 = 0.

Câu II (2 điểm)

Cho tam giác đều ABC và các điểm M, N, P thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\,\,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA},\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm k để AM vuông góc với PN.

Câu III (3+3+3=9 điểm)  

1) Tìm m để phương trình \(\sqrt {x + 6\sqrt {x - 9} } + m\sqrt {x + 2\sqrt {x - 9} - 8} = x + \frac{{3m + 1}}{2}\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} < 10 < {x_2}\)

2) Giải phương trình \(x = \sqrt {3 - x} .\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - x} .\sqrt {5 - x} + \sqrt {5 - x} .\sqrt {3 - x} \)

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 2y - 6 + 2\sqrt {2y + 3} = 0\\ (x - y)({x^2} + xy + {y^2} + 3) = 3({x^2} + {y^2}) + 2 \end{array} \right.\).

Câu IV (1.5+1.5=3 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi E, F là các điểm xác định bởi \(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CF} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} ,\) đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I.

1) Tính giá trị của \(\overrightarrow {EA} .\overrightarrow {CE} \) theo a.

2) Chứng minh rằng \(\widehat {AIC} = {90^0}\).

Câu V (2 điểm)

Cho các số dương a, b, c có a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{a\sqrt a }}{{\sqrt {2c + a + b} }} + \frac{{b\sqrt b }}{{\sqrt {2a + b + c} }} + \frac{{c\sqrt c }}{{\sqrt {2b + c + a} }}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 2 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (4 điểm)

Cho phương trình \(m{x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + m - 10 = 0{\rm{ }}(1)\)

a/. Giải phương trình (1) khi m = 0.

b/. Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm.

Câu 2 (4 điểm)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x\left( {x - 4y + 1} \right) = 2y - 4{y^2}\\ \sqrt {x + 4y + 2} = 3 + \sqrt {3x - 4y - 1} \end{array} \right.\)

Câu 3 (4 điểm)

a/. Cho tam giác ABC thoả điều kiện \(2\cos A(\sin B - \sin C) = \sin 2C - \sin 2B\). Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông hay một tam giác cân.

b/. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Biết \(BC = a,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\) Chứng minh rằng \(a.O{A^2} + b.O{B^2} + c.O{C^2} = abc\).

Câu 4 (4 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):2x - y + 3 = 0,{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right):4x + 3y - 9 = 0\) và điểm M(-1;-4). Tìm toạ độ hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.

Câu 5 (4 điểm)

Cho a, b, c là 3 số thực dương.

a./ Chứng minh rằng \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

b./ Biết \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 432\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \frac{1}{{a + b}} + \frac{4}{{2a + b + c}} + \frac{4}{{a + b + 2c}} + \frac{{16}}{{2a + 3b + 3c}}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 3 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu I: (2 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \frac{1}{{x - 2018}} + \frac{{2017}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }}\)

Câu II: (3 điểm) Cho phương trình: \(({x^2} + 5x + 6)({x^2} + 9x + 20) - 2m - 1 = 0\;\quad (1)\)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thỏa mãn: \({x^2} + 7x + 9 \le 0\)

Câu III: (5 điểm)

1. (2điểm) Giải phương trình: \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {x - 2} = \sqrt {2x + 7} - 2\)

2. (3điểm) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 2{x^3}y = 1\\ x{y^3} = 2 + x \end{array} \right.\)

Câu IV: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. Điểm I, J xác định bởi: \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CJ} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \). Đường thẳng AI cắt BJ tại K. Chứng minh: AK vuông góc với CK.

Câu V: (2 điểm)

Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội-Huế), người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta được các góc lần lượt là \({51^0}{40'}\) và \({45^0}{39'}\) so với đường song song với mặt đất. Hãy tính chiều cao của cột cờ (làm tròn 0,01 mét).

Câu VI (3 điểm)

Cho tam giác ABC với A(5;6), B(1;2) đường phân giác trong của góc A song song với trục tung, góc C bằng 60^o. Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu VII (3 điểm)

Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác định vị trí của M để \(\frac{{AN}}{{MN}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 4 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1:

a) (3đ) Giải phương trình: \(2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 16 = 0\)

b) (3đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - 4m - 3 = 0\) là nhỏ nhất.

Câu 2: (3đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: \(y = \frac{{\sqrt {3 - 2{\rm{x}}} + x\sqrt {3{\rm{x}} + 11} }}{{\sqrt {1 - {x^2}} + \sqrt {\left| {3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5} \right|} }}\)

Câu 3: (3đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a, b, c, d. Chứng minh rằng số \(A = \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}}\) không phải là một số nguyên.

Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.Lấy J thỏa \(2\overrightarrow {CJ} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {JM} \). Chứng minh rằng IJ song song với AB.

Câu 5: (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm \(A\left( {0;2} \right);B\left( {0; - 4} \right);C\left( { - 6; - 1} \right)\)

a) Chứng minh tam giác ABC cân.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Xác định tọa độ D Sao cho tứ giác ABDG là hình bình hành. Biết G là trọng tâm của tam giác ABC.

Câu 6: (3đ) Cho a, b, c, d> 0 và ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\)

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi số 5 vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 10 năm 2021 có đáp án Trường THPT Chương Mỹ A. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

• Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Liễn Sơn

Chúc các em học tốt!