Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Trưng Vương

TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG

ĐỀ THI HSG LỚP 10

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút

Câu

Nội dung

Điểm

I

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và có hệ số góc là k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x₁; x₂.

1) Tìm m để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

1,0

+ Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 1

0,25

+ PT tương giao (d) và (P): \( - {x^2} = kx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + kx - 1 = 0(*)\)

0,25

+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ vì \(\Delta = {k^2} + 4 > 0\left( {\forall k} \right)\)

0,25

+ Trung điểm M của AB có hoành độ là \(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{ - k}}{2}\); M nằm trên trục tung ⇔ \(\frac{{ - k}}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 0\)

0,25

2) Chứng minh rằng \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| \ge 2\left( {\forall k \in R} \right)\)

1,0

Theo Vi et có: \({x_1} + {x_2} = - k,{x_1}{x_2} = - 1\)

0,25

Ta có: \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = \left| {({x_1} - {x_2})\left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} - {x_1}{x_2}} \right]} \right|\) = \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\left| {{{({x_1} + {x_2})}^2} - {x_1}{x_2}} \right|\)

0,25

Có \({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {k^2} + 4\)

0,25

\( \Rightarrow \left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = \sqrt {{k^2} + 4} ({k^2} + 1) \ge 2,\forall k \in R\)

Đẳng thức xảy ra khi k = 0 

0,25

II

1) Giải phương trình: \(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {5x + 4} = 3{x^2} - x + 3\) (1)

1,5

 Điều kiện: \(x \ge - \frac{1}{3}\)

0,25

(1) \(\Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt {5x + 4} - 2} \right) = 3{x^2} - x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{\sqrt {3x + 1} + 1}}\frac{{5x}}{{\sqrt {5x + 4} + 2}} = x\left( {3x - 1} \right)\).

0,25

\(\left[ \begin{array}{l} x = 0(TM)\\ \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 1}} + \frac{5}{{\sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x - 1\,\,\,(*) \end{array} \right.\)

0,25

Với x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)

0,25

Nếu x > 1 thì VT(*) < 2 < VP(*)

0,25

Nếu x < 1 thì VT(*) > 2 > VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1

0,25

2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y - x{y^2} + xy - y = 1(1)\\ {x^4} + {y^2} - xy(2x - 1) = 1(2) \end{array} \right.(*)\)

1,5

\((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ({x^2} - y) + xy({x^2} - y) + xy = 1\\ {\left( {{x^2} - y} \right)^2} + xy = 1 \end{array} \right.\)

0,25

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} a = {x^2} - y\\ b = xy \end{array} \right.\). Hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} a + ab + b = 1\\ {a^2} + b = 1 \end{array} \right.\) (*)

0,25

Hệ \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + {a^2} - 2a = 0\\ b = 1 - {a^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a({a^2} + a - 2) = 0\\ b = 1 - {a^2} \end{array} \right.\)

Từ đó tìm ra \((a;\,\,b) \in \left\{ {(0;\,\,1);\,\,(1;\,\,0);\,\,( - 2;\, - 3)} \right\}\)

0,25

Với (a;b) = (0; 1) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 0\\ xy = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

0,25

Với (a;b) = (1;0) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 1\\ xy = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow (x;y) = (0; - 1);(1;0);( - 1;0)\).

0,25

Với (a;b) = (-2;-3) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = - 2\\ xy = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{3}{x}\\ {x^3} + 2x + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{3}{x}\\ (x + 1)({x^2} - x + 3) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1;\,\,y = 3\)

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm \((x;y) \in \left\{ {(1;\,\,1);(0;\, - 1);(1;\,\,0);( - 1;\,\,0);( - 1;\,\,3)} \right\}\).

0,25

Câu

Lời giải sơ lược

Điểm

1.1

Vẽ đồ thị \(y = {x^2} - 2x + 2\) (P)

1.5

Nêu đúng txd, đỉnh I(1; 1), trục đối xứng, chiều biến thiên

Vẽ đúng bảng biến thiên

0.5

0.5

0.5

1.2

1.0

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: 

\({x^2} - 2x + 2 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - m = 0\;(1)\)

0,25

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ \(\Delta = 9 - 4(2 - m) > 0 \Leftrightarrow 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1/4\) (*)

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là \(A({x_1};{x_1} + m),\,B({x_2};{x_2} + m)\), trong đó \({x_1},\,{x_2}\) là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 3,\,{x_1}{x_2} = 2 - m\).

0,25

Ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = 82 \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {{x_1} + m} \right)^2} + x_2^2 + {\left( {{x_2} + m} \right)^2} = 82\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{m^2} = 82\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 41 \end{array}\)

0,25

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 - 2(2 - m) + 3m + {m^2} = 41\\ \Leftrightarrow {m^2} + 5m - 36 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m = - 9 \end{array} \right. \end{array}\)

Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm.

0,25

Câu

Phần

Nội dung

1

1

(x-2)² = 9 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l} x - 2 = 3\\ x - 2 = - 3 \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l} x = 3 + 2 = 5\\ x = - 3 + 2 = - 1 \end{array} \right.\)

Vậy pt có 2 nghiệm là x = 5 và x = – 1.

2

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2 = 0\\ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 2\\ 3x - 2y = 6 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = 8\\ x + 2y = 2 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 0 \end{array} \right.\)

Vậy hpt có 1 nghiệm là  (x; y) = (2; 0).

2

1

Với x> 0 và x khác 9

\(A = \left( {\frac{{(\sqrt x + 3) + (\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{9}{{2\sqrt x }}} \right)\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}}.\frac{{x - 9}}{{2\sqrt x }}\)

= 1

2

Để đồ thị hàm số y = ( 3m -2)x + m-1 song song với đồ thị hàm số y = x+ 5

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} 3m - 2 = 1\\ m - 1 \ne 5 \end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} m = 1\\ m \ne 6 \end{array} \right.\)

m = 1.

Vậy : m = 1 thì đồ thị hàm số y = ( 3m -2)x + m-1 song song với đồ thị hàm số

y = x+ 5

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

1 

\({x^2} = - 4x\) (1)

1,00

Có (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 4 \end{array} \right.\).

0,25

0,25

0,5

2

\(\sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} = 7\) (2)

1,00

Có (2) \( \Leftrightarrow \left| {2x - 3} \right| = 7\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 3 = 7\\ 2x - 3 = - 7 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ x = - 2 \end{array} \right.\)

0,25

0,25

0,25

0,25

2

1

Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - \sqrt a }}\) với a > 0 và a khác 1

1,00

Có \(\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}} = \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt a - 1}} = \frac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}\)

Có \(\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - \sqrt a }} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}\)

Do đó

\(P = \frac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{1 + \sqrt a }}\)

P = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

2

Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II

1,00

Vì hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau(2\(\ne\)1)( Hoặc nêu hệ sau có nghiệm duy nhất) nên 2 đường thẳng đã cho cắt nhau. Toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} y = 2x + 2\\ y = x + m - 7 \end{array} \right.\)

Giải hệ trên có \(\left\{ \begin{array}{l} x = m - 9\\ y = 2m - 16 \end{array} \right.\)

Vì toạ độ giao điểm nằm trong góc phần tư thứ II nên \(\left\{ \begin{array}{l} m - 9 < 0\\ 2m - 16 > 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 9\\ m > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow 8 < m < 9\)

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu

Sơ lược đáp án

Điểm

1.1

(1đ)

\(BPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2x \ge 0\\ {x^2} + 5 < {(1 - 2x)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 1/2\\ 3{x^2} - 4x - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 1/2\\ x > 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} \vee \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x < - 2/3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x < - \frac{2}{3}\)

4x0,25

1.2

(1đ)

·TH1: Với m = 1 thì BPT có dạng \( - 2x + 4 < 0 \Leftrightarrow x > 2\) ⇒ m = 1 không thỏa mãn ycbt

0,25

·TH2: Với m khác 1 thì ycbt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 < 0\\ {\Delta ^/} = {m^2} - 2({m^2} - 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ - {m^2} + 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \sqrt 2 \)

3x0,25

2.1

(1đ)

 ĐK: \(x \ge - \frac{1}{3}\) ⇒ PT \( \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{\sqrt {3x + 1} + 1}}\frac{{5x}}{{\sqrt {5x + 4} + 2}} = x\left( {3x - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0(TM)\\ \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 1}} + \frac{5}{{\sqrt {5x + 4} + 2}} = 3x - 1\,\,\,(*) \end{array} \right.\)

0,5

· Xét PT (*): Nếu x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)

Nếu x > 1 thì VT(*) < 2 < VP(*); Nếu x < 1 thì VT(*) > 2 > VP(*)

Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1

0,5

2.2

(1đ)

Đặt \(a = {x^2} - y;\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}b = xy\).

Hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l} a + ab + b = 1\\ {a^2} + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + {a^2} - 2a = 0\\ b = 1 - {a^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 1 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} \vee \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 0 \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} \vee \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 3 \end{array} \right.\)

0,5

·Với \(\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 1 \end{array} \right.\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 0\\ xy = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

·Với \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 0 \end{array} \right.\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 1\\ xy = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow (x;y) = (0; - 1);(1;0);( - 1;0)\).

·Với \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 3 \end{array} \right.\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = - 2\\ xy = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - 3/x\\ {x^3} + 2x + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 3 \end{array} \right.\,\,\).

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .

0,5