Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức

Ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của các phép cộng trừ, nhân, chia phân thức.

Trước khi làm bài toán liên quan đến giá trị phân thức cần tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0, từ đó giá trị của phân thức mới được xác định.

Bài 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a.\(1 - \frac{x}{{1 - \frac{x}{{x + 1}}}}\)

b.\(\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} 1 - \frac{x}{{1 - \frac{x}{{x + 1}}}}\\ = 1 - \left[ {x:\left( {1 - \frac{x}{{x + 1}}} \right)} \right]\\ = 1 - \left[ {x:\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{x}{{x + 1}}} \right)} \right]\\ = 1 - \left[ {x:\frac{1}{{x + 1}}} \right]\\ = 1 - x\left( {x + 1)} \right) \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}}\\ = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = {\left( {x - 1} \right)^2} \end{array}\)

Bài 2: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

a. \(\frac{{4x}}{{3x - 6}}\) 

b. \(\frac{5}{{{x^2} - 2x}}\)

c.\(\frac{{5x + y}}{{{x^2} - 4{y^2}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\frac{{4x}}{{3x - 6}}\)          

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} 3x - 6 \ne 0\\ \Rightarrow x \ne 2 \end{array}\)

b.

\(\frac{5}{{{x^2} - 2x}}\)        

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} {x^2} - 2x \ne 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne 0;2 \end{array}\)

 c.

\(\frac{{5x + y}}{{{x^2} - 4{y^2}}}\)

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} {x^2} - 4{y^2} \ne 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne \pm 2y \end{array}\)

Bài 3: Tính giá trị biểu thức A tại x=-8

\(A = \frac{{3{x^2} - x}}{{9{x^2} - 6x + 1}}\)

Hướng dẫn

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{3{x^2} - x}}{{9{x^2} - 6x + 1}}\\ {\rm{ }} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

ĐKXĐ:

\(x \ne \frac{1}{3}\)

Tại \(x = - 8\) ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{x}{{3x - 1}}\\ = \frac{{ - 8}}{{3.\left( { - 8} \right) - 1}}\\ = \frac{8}{{25}} \end{array}\)

Qua bài giảng Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Thực hiên được biến đổi các biểu thức và tính giá trị của phân thức
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Biến đổi biểu thức \(\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{x - \frac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số 

  • A. \(\frac{1}{{x + 1}}\)
  • B. x + 1
  • C. x - 1
  • D. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

• Câu 2:

  Biểu thức \(\frac{{x + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thúc đại số là

  • A. \(\frac{1}{{x + 1}}\)
  • B. x + 1
  • C. x - 1
  • D. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

• Câu 3:

  Biết \(A = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right) = \frac{{...}}{{x + 1}}\). Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống 

  • A. x - 1
  • B. x + 1
  • C. x 
  • D. 1

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online