Bài 5: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và Phương pháp Fre-Nen

• Ta có thể biểu diễn một dao động  \(x = A\cos (\omega t + \varphi )\) bằng một vectơ   quay \(\overrightarrow{OM}\)  tại  thời điểm ban đầu có các đặc điểm sau:

  • Có góc tai góc tọa độ của Ox

  • Có độ dài bằng biên độ dao động; OM = A.

  • Hợp với Ox một góc \(\small \varphi\)

• Hay:  \(\overrightarrow{OM} \left\{\begin{matrix} |\overrightarrow{OM}| = A \ \ \ \ \\ (\overrightarrow{OM},\Delta ) = \varphi \end{matrix}\right.\)

• VD: \(x = 5 \cos (2 \pi t + \frac{\pi}{4}) \ (cm)\)

a. Đặt vấn đề

Tìm tổng của hai dao động

\(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi _1)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi _2) \end{matrix}\right.\)

b. Phương pháp giản đồ Fre-nen

• Ta lần lượt ta vẽ hai vec tơ quay đặt trưng cho hai dao động:

• Ta thấy \(\small \underset{OM_1}{\rightarrow}\) và \(\small \underset{OM_2}{\rightarrow}\) quay với tốc độ góc ω thì \(\small \underset{OM}{\rightarrow}\) cũng quay với tốc độ góc là ω.

• Phương trình tổng hợp

    \(x = A\cos (\omega t + \varphi )\)

\(\small \Rightarrow\) Kết luận: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.

• Trong đó:

  • \(A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_1A_2\cos (\varphi _2 - \varphi _1)}\)  (1)

  • \(\tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi _1 + A_2 \sin \varphi _2}{A_1 \cos \varphi _1 + A_2 \cos \varphi _2}\)      (2)

c.  Ảnh hưởng của độ lệch  pha

Ta có: 

• \(\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = k2 \pi\): x₁, x₂ cùng pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2\\ \varphi = \varphi _1 = \varphi _2 \end{matrix}\right.\)

• \(\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = (2k + 1) \pi\): x₁, x₂ ngược pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \varphi = \varphi _1 \ neu\ A_1 > A_2 \end{matrix}\right.\)

• \(\ \Delta \varphi = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_1 \perp x_2 \Rightarrow A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}}\)

 Bài 1:

Tổng hợp các dao động sau:
\(\\ a/ \left\{\begin{matrix} x_1 = 2 \cos (2 \pi t - \pi )\\ x_2 = 3 \cos (2 \pi t + \pi ) \end{matrix}\right. \\ b/ \left\{\begin{matrix} x_1 = 5 \cos ( \pi t - \frac{\pi }{3})\\ x_2 = \cos ( \pi t + \frac{2\pi }{3}) \end{matrix}\right. \\ c/ \left\{\begin{matrix} x_1 =6 \cos 4 \pi t \ \ \ \ \ \ \ \\ x_2 = 6 \cos (4 \pi t + \frac{\pi }{3}) \end{matrix}\right. \\ d/ \left\{\begin{matrix} x_1 = 4 \cos (5 \pi t + \frac{\pi }{6}) \ \ \ \ \\ x_2 = 4\sqrt{3} \cos (5 \pi t - \frac{\pi }{3}) \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải: 

a/ \(\Delta \varphi = \pi - (- \pi) = 2 \pi\): x1, x2 cùng pha
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2 = 2 + 3 = 5 \ cm\\ \varphi = \pi ;\ \varphi =- \pi \hspace{2,3cm} \end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow x = 5\cos (2 \pi t \pm \pi )\ (cm)\)
b/ \(\Delta \varphi = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi }{3} = \pi\): x₁, x₂ ngược pha
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| = |5-1| = 4 \ cm\\ \varphi = \varphi _1 = -\frac{\pi }{3}\ (Vi\ A_1 > A_2) \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow x = 4 \cos (\pi t - \frac{\pi}{3}) \ (cm)\)
c/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 6 \cos 4 \pi t \ (cm) \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_1 = 6 \ cm\\ \varphi _1 = 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\\ x_2 = 6 \cos (4 \pi t + \frac{\pi}{3}) \ (cm) \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_2 = 6\ cm\\ \varphi _2 = \frac{\pi }{3} \ \ \ \ \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ A = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2.6.6 \cos \frac{\pi}{3}} = 6\sqrt{3}\ cm\)
\(\cdot \ \tan \varphi = \frac{6.\sin 0 + 6. \sin \frac{\pi }{3}}{6. \cos 0 + 6.\cos \frac{\pi }{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)
d/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 4\cos (4\pi t + \frac{\pi}{6})\ (cm)\ \ \ \ \\ x_2 = 4\sqrt{3} \cos (5 \pi t - \frac{\pi }{3})\ (cm) \end{matrix}\right.\)
\(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2} - \left ( - \frac{\pi}{3} \right ) = \frac{\pi }{2}\)
\(A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} = 8 \ (cm)\)
\(\tan \varphi = \frac{4 \sin \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \sin -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )}{4 \cos \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \cos -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{-4}{4\sqrt{3}}\)
\(\rightarrow \tan \varphi = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{6}\)
\(\rightarrow x = 8\cos (5 \pi t - \frac{\pi }{6})\ (cm)\)

Bài 2:

Cho 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \frac{\pi }{3})\ (cm)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\ (cm) \end{matrix}\right.\)

Dao động tổng hợp \(x = x_1 + x_2 = 6\sqrt{3}\cos (\omega t + \varphi )\). Tìm giá trị lớn nhất của \(A_2\) khi thay đổi \(A_1\)?

Hướng dẫn giải: 

• Định lý sin: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

\(x=x_1 + x_2 \Rightarrow \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}\)

• Ta có: \(\frac{A_2}{\sin \alpha } = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}} \Rightarrow A_2 = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}}. \sin \alpha\)

\(\Rightarrow A_2 = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}.\sin \alpha = 12\sqrt{3}.\sin \alpha\)

Qua bài giảng Tổng hợp hai dao động điều hòa và Phương pháp Fre-Nen này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biểu diễn được phương trình dao động điều hòa bằng phương pháp vectơ quay.

• Vận dụng được phương pháp giản đồ Fre – nen để tìm phương trình dao động tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Vật lý 12 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho 2 dao động điều hòa: 

  \(\begin{array}{l} {x_1} = 5cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)\,\,cm\\ {x_2} = 5cos\left( {2\pi t + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\,\,cm \end{array}\)

  Tìm dao động tổng hợp.

   

  • A. \(x = 5\sqrt 2 cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\)
  • B. \(x = 5\sqrt 2 cos\left( {2\pi t} \right)\,\,cm\)
  • C. \(x = 5\sqrt 2 cos\left( {2\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\)
  • D. \(x = 5\sqrt 2 cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\,\,cm\)

• Câu 2:

  Một vật tham gia đồng thời 2 dao động:

  \(\begin{array}{l} {x_1} = 3cos\left( {5\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\,\,cm\\ {x_2} = 3\sqrt 3 cos\left( {5\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\,\,cm \end{array}\)

  Tìm hương trình dao động tổng hợp.

  • A. \(x= 7,9 cos(5 \pi t + \frac{41\pi}{180})\)
  • B. \(x= 7,9 cos( \pi t + \frac{41\pi}{180})\)
  • C. \(x= 7,9 cos(5 \pi t - \frac{41\pi}{180})\)
  • D. \(x= 7,9 cos( \pi t - \frac{41\pi}{180})\)

• Câu 3:

  Dao động tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương có biểu thức 

  Dao động thứ nhất có biểu thức  . Biểu thức của dao động thứ 2 là:

  • A. \(x_2= 5 cos (6 \pi t+\frac{2 \pi}{3})\)
  • B. \(x_2= 5 cos ( \pi t+\frac{2 \pi}{3})\)
  • C. \(x_2= 5 cos (6 \pi t-\frac{2 \pi}{3})\)
  • D. \(x_2= 5 cos (\pi t-\frac{2 \pi}{3})\)

• Câu 4:

  Vật khối lượng 400g tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương với các phương trình :

  \(\begin{array}{l} {x_1} = 3\sin \left( {5\pi t + \frac{\pi }{2}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm;\\ {x_2} = 6cos\left( {5\pi t + \frac{\pi }{6}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm \end{array}\)

  Vận tốc cực đại của vật là:

   

   

   

  • A. 81 cm/s
  • B. 81,7 cm/s
  • C. 81,7 m/s
  • D. 81 m/s

Câu 5- Câu 11: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Vật lý 12 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 5.2 trang 13 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.3 trang 14 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.4 trang 14 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.5 trang 14 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.6 trang 14 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.7 trang 14 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.8 trang 15 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.9 trang 15 SBT Vật lý 12

Bài tập 5.10 trang 15 SBT Vật lý 12

Bài tập 1 trang 60 SGK Vật lý 12 nâng cao

Bài tập 2 trang 60 SGK Vật lý 12 nâng cao

Bài tập 3 trang 60 SGK Vật lý 12 nâng cao

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Vật lý Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!