Bài 5: Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)).

• d(O;a) = OH: 

• d(O; (P))= OH:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

• d(a;(P)) = d(O,(P)) = OH:

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

• d((P);(Q)) = OH:

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• d(a;b) = AB:

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

"KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN"

Cho mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), điểm A không thuộc mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), E là điểm thuộc AM sao cho: \(\frac{{ME}}{{MA}} = k.\)

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Hướng dẫn giải:

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) nên: d(A,\(\left (\alpha \right )\)) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Khi đó:  d(E, \(\left (\alpha \right )\)) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp \(\left (\alpha \right )\)) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta có: 

\(\frac{{EP}}{{AH}} = \frac{{ME}}{{MA}}=k\)

Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

\(d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h\) (áp dụng kết quả (1) với \(k=\frac{1}{2}\)).

c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: \(d(J,\left( \alpha \right)) = d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h.\)

d) D là trung điểm của JC nên \(\frac{CD}{CJ}=\frac{1}{2}.\)

Suy ra: \(d(Q,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}d(J,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.h = \frac{1}{4}.h\).

Ví dụ 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) \(\bot\) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có: \(SA \bot (ABC)\).

Suy ra \(SA \bot BC\) (1).

Mà \(AB \bot BC\) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(BC \bot (SAB)\Rightarrow (SBC) \bot (SAB).\)

b) Ta có: \((SAB)\cap (SBC)=SB\).

Kẻ \(AH \bot SB (H\in SB).\)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Khi đó: \(AH \bot (SBC)\) nên \(d(A, (SBC))=AH\).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

c) Ta có: \(AB\cap (SBC)=B\) và \(\frac{BI}{BA}=\frac{1}{2}\) (do I là trùng điểm của AB) nên:

\(d(I,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Ví dụ 3: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = \(a\sqrt2\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Ta có \(AO\cap (SBC)=C\) và \(\frac{CO}{CA}=\frac{1}{2}\), do đó:

d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).

\(SO \bot (ABCD)\) nên \(SO \bot BC\)

Kẻ \(SI \bot BC\) thì I là trung điểm của BC.

Suy ra: \(BC \bot (SOI)\Rightarrow (SBC)\bot (SOI)\)

\((SBC)\cap (SOI)=SI\)

Kẻ \(OI \bot SI (H\in SI).\) Khi đó \(d(O,(SBC)) = OH\)

Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{J^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\) mà \(OJ = \frac{1}{2}.a;\,\,SO = \sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Suy ra: \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a.\)

Vậy: \(d(AD,SC) = 2.\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a = \frac{{\sqrt {42} }}{7}.a.\)

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian và phương pháp xác định khoảng cách giữa chung. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan Khoảng cách, trọng tâm là xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAB).

  • A. \(d = a\sqrt 2\)
  • B. \(d = 2a\)
  • C. \(d = a\)
  • D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

• Câu 2:

  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\), hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính chiều cao h của khối chóp H.SBD theo a.

  • A. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
  • B. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\)
  • C. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\)
  • D. \(h = \frac{{3a}}{5}\)

• Câu 3:

  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; \(BC = a\sqrt 3\). Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

  • A. \(h = \frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}\)
  • B. \(h = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
  • C. \(h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
  • D. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

• Câu 4:

  Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh a,\(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\) . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a.

  • A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\)
  • B. \(d= \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)
  • C. \(d = \frac{{a\sqrt {21} }}{5}\)
  • D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\)

Câu 5 - Câu 12: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.36 trang 160 SBT Hình học 11

Bài tập 3.37 trang 160 SBT Hình học 11

Bài tập 3.38 trang 160 SBT Hình học 11

Bài tập 3.39 trang 160 SBT Hình học 11

Bài tập 3.40 trang 160 SBT Hình học 11

Bài tập 29 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 30 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 31 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 33 trang 118 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 34 trang 118 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 35 trang 118 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.