Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó ta gọi góc $\widehat{BAC}(0\le \widehat{BAC}\le {180}^0)$ là góc giữa hai vecto vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$. Ta có: $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\widehat{BAC}$.

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ xác dịnh bởi:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\mathrm{o}\mathrm{s}(\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{v})$

Nếu $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.$

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ trong không gian và với mọi số k ta có:

• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán).
• $\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối).
• $(k.\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k.(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.k\overrightarrow{b}.$
• ${\overrightarrow{a}}^2\ge 0,{\overrightarrow{a}}^2=0\iff \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.$

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $c\mathrm{o}\mathrm{s}(\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{v})$ theo công thức: $c\mathrm{o}\mathrm{s}(\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}$.      

Vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ với $k\ne 0$ cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ của d.

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰. Ta kí hiệu là: $b\mathrm{\perp }a$ hoặc $a\mathrm{\perp }b.$

b) Tính chất

• Nếu $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: $a\mathrm{\perp }b\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.$
• Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG}.$

c) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DH}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG}$ cũng bằng góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG}\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)={45}^0.$

b)  Vì AB // DG nên góc giữa $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DH}$ cũng bằng góc giữa $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{DH}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH}\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH}\right)={45}^0.$

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{B}}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}.$

Chứng minh rằng: $SA\mathrm{\perp }BC,SB\mathrm{\perp }AC,SC\mathrm{\perp }AB.$

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng: $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC},\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}.$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\\ =\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{SC}\right|.c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{A}}-\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{SB}\right|c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{B}}\end{array}$

Theo giá thuyết: $\left|\overrightarrow{SB}\right|=\left|\overrightarrow{SC}\right|$

Và: $c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{A}}=c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{B}}\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=0$

Vậy: $SA\mathrm{\perp }BC.$

Chứng minh tương tự ta có: $SB\mathrm{\perp }AC,SC\mathrm{\perp }AB.$

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}$  

Và: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}$  

Do đó: $2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$  

Vậy: $2.\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB}=0$

Hay $\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=0$ Tức là: $PQ\mathrm{\perp }AB.$

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}={60}^0.$.

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì $AB\mathrm{\perp }IJ.$  

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\\ =\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos BAD-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos BAC\end{array}$

Mặt khác ta có: $AB=AC=AD,\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$

Nên: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos BAD-\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos BAC=0$

Vậy AB vuông góc với CD.

b) ) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$

Do đó: 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|\cos {60}^0-{\overrightarrow{AB}}^2+\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos {60}^0\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{a}^2-a^2+\frac{1}{2}{a}^2\right)=0\end{array}$

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A. Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a // b
  • B. nếu a || b và $c\mathrm{\perp }a$ thì $c\mathrm{\perp }b$
  • C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a || b
  • D. nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng (a) || c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c

• Câu 2:

  Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Cho biết $IJ=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

  • A. ${30}^o$
  • B. ${45}^o$
  • C. ${60}^o$
  • D. ${90}^o$

• Câu 3:

  Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

  • A. $MN=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
  • B. $MN=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
  • C. $MN=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
  • D. $MN=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

• Câu 4:

  Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc:

  • A. $\mathrm{\angle }BD{B}^{\prime }$
  • B. $\mathrm{\angle }A{B}^{\prime }C$
  • C. $\mathrm{\angle }D{B}^{\prime }B$
  • D. $\mathrm{\angle }D{A}^{\prime }{C}^{\prime }$

Câu 5 - Câu 12: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

Bài tập 3.10 trang 138 SBT Hình học 11

Bài tập 3.11 trang 139 SBT Hình học 11

Bài tập 3.12 trang 139 SBT Hình học 11

Bài tập 3.13 trang 139 SBT Hình học 11

Bài tập 3.14 trang 139 SBT Hình học 11

Bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học 11

Bài tập 7 trang 95 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 8 trang 95 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 9 trang 96 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 10 trang 96 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.