Bài 4: Ma trận nghịch đảo

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp, ta có

det(A.B) = detA.detB

Ma trận vuông A cấp n gọi là khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận vuông X cấp n sao cho:

$AX=XA=I_n$

Khi đó, X được gọi là ma trận nghịch đảo (hay ma trận đảo) của A, ký hiệu là $A^{-1}$.

Với A,B là hai ma trận vuông cùng cấp, ta có :

$(i)(A^{-1}{)}^{-1}=A$

$(ii)(A^t{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^t$

$(iii)(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

A là ma trận khả nghịch, ta nói rằng A là một ma trận không suy biến.

Cho A là một ma trận vuông. Ta có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của A.

Cách 1 (dùng phép biến đổi sơ cấp):

Để tìm ma trận đảo, nếu có, của ma trận vuông A cấp ra, ta lập ma trận $(A|I_n)$ cấp n x 2n, trong đó $I_n$ là ma trận đơn vị cấp n, rồi dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa $(A|I_n)$ về dạng bậc thang thu gọn. Nếu ở dạng bậc thang thu gọn, A biến thành $I_n$ thì $I_n$ biến thành $A^{-1}$. Nếu R(A) < n thì A không khả đảo.

Cách 2 (dùng định thức):

Nếu A không suy biến ta tìm nghịch đảo của A theo các bước sau:

Tính |A| .

Tìm ma trận các phần bù đại số của A: 

$\left(A_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right)=\left(\begin{array}{l}{A}_{11}\cdots A_{1n}\\ ⋮⋮\\ A_{n1}\cdots A_{nn}\end{array}\right)$

Tìm ma trận phụ hợp, là chuyển vị của ma trận trên: Ký hiệu $P_A=(A_{ij}{)}^t$

Tính ma trận nghịch đảo theo công thức:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{\left(A_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right)}^t=\frac{1}{\left|A\right|}{P}_A$

Ví dụ: Tìm ma trận đảo của ma trận sau đây (nếu có)

$A=\left(\begin{array}{l}120\\ 291\\ 112\end{array}\right)$

Giải:

Cách 1:

Ta có:

Vậy $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{17}{11}& -\frac{4}{11}& \frac{2}{11}\\ -\frac{3}{11}& \frac{2}{11}& -\frac{1}{11}\\ -\frac{7}{11}& \frac{1}{11}& \frac{5}{11}\end{array}\right)$

Cách 2: 

Ta có $\left|A\right|=11\ne 0$

Ma trận phụ hợp của A là: $P_A=\left(\begin{array}{ccc}17& -4& 2\\ -3& 2& -1\\ -7& 1& 5\end{array}\right)$

Do đó ma trận nghịch đảo của A là

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{P}_A=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{ccc}17& -4& 2\\ -3& 2& -1\\ -7& 1& 5\end{array}\right)$

Vi dụ: Tìm ma trận đảo (nếu có) của ma trận $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 3& 1& 2\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

Giải

Vì |A| = 0 nên A là ma trận không khả nghịch.

(i) Với A khả đảo:

$\begin{array}{l}{A}_{nxm}{X}_{nxk}=B_{nxk}\iff A^{-1}(\mathrm{A}\mathrm{X})=A^{-1}B\\ \iff (A^{-1}A)X=A^{-1}B\iff I_{n}X=A^{-1}B\\ \iff X=A^{-1}B\end{array}$

(ii) Với A khả đảo :

$\begin{array}{l}{X}_{nxk}{A}_{nxm}=B_{nxk}\iff (\mathrm{X}\mathrm{A})A^{-1}=B{A}^{-1}\\ \iff X(A{A}^{-1})=B{A}^{-1}\iff X{I}_n=B{A}^{-1}\\ \iff X=B{A}^{-1}\end{array}$

(iii) Với A, B khả đảo:

${\begin{array}{l}{A}_{mxm}{X}_{mxn}{B}_{nxn}=C_{mxn}\iff A^{-1}(\mathrm{A}\mathrm{X}\mathrm{B})B^{-1}=A^{-1}CB\\ \begin{array}{c}\iff (A^{-1}A)X(B{B}^{-1})=A^{-1}C{B}^{-1}\\ \iff I_{m}X{I}_n=A^{-1}C{B}^{-1}\iff X=A^{-1}C{B}^{-1}\end{array}\\ \end{array}}^{-1}$

Ví dụ : Tìm ma trận X thỏa XA = B với

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& -1& 3\\ 4& 1& 8\end{array}\right)$ và $B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 2& 1& 3\\ \begin{array}{l}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}-1\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\end{array}\right)$

Giải

Ta có: 

$(A|I)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& -1& 3\\ 4& 1& 8\end{array}|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Vậy $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-11& 2& 2\\ -4& 0& 1\\ 6& -1& -1\end{array}\right)$

Do đó $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 2& 1& 3\\ \begin{array}{l}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}-1\\ 1\end{array}& \begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-11& 2& 2\\ -4& 0& 3\\ 6& -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-9& 3& 1\\ -8& 1& 2\\ \begin{array}{l}16\\ 14\end{array}& \begin{array}{l}-2\\ -3\end{array}& \begin{array}{l}-3\\ -2\end{array}\end{array}\right)$