Bài 1: Ma trận

Một ma trận A cấp m x n là một bảng số gồm m x n số thực, xếp thành m dòng và n cột (m, n = 1,2,3...).

Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\, - 4 \end{array} \right)\) là một ma trận cấp 2 x 3

Phần tử ở dòng i, cột j của ma trận A ký hiệu là \({a_{{\rm{ij}}}}\). Trong ví dụ trên \({a_{23}} = - 4,a = - 1\)

Ta ký hiệu ma trận A cấp m x n như sau: \({A_{m\,x\,n}}\,hay\,\,{({a_{{\rm{ij}}}})_{m\,\,x\,n}}\)

Ma trận vuông: là ma trận mà số dòng bằng số cột. Khi đó, đường chéo nối các phần tử a₁₁, a₂₂, a_nn được gọi là đường chéo chính của ma trận vuông.

Ma trận tam giác trên: là ma trận vuông mà các phần tử ở dưới đường chéo chính đều bằng 0.

Ma trận tam giác dưới: là ma trận vuông mà các phần tứ ờ trcn đường chéo chính đều bang 0.

Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phân tử không thuộc đường chéo chính đều bằng 0.

Ma trận đơn vị I_n: là ma trận chéo mà các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1.

Ma trận O_{m x n} là ma trận gồm toàn số 0.

Ví dụ:

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,6\\ 2\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,3\\ - 1\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,2 \end{array} \right\}\) là một ma trận vuông cấp 3

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,3 \end{array} \right\}\)là một ma trận tam giác trên

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,4 \end{array} \right\}\)là một ma trận dưới

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right\}\)là một ma trận chéo

\(\left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right\}\)là ma trận đơn vị cấp 3, ký hiệu là I₃

\({O_{2x3}} = \left( \begin{array}{l} 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0 \end{array} \right)\)

Ma trận hằng nhau: Hai ma trận cùng cấp gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

\({A_{mxn}} = {B_{mxn}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{ij}}}} = {b_{{\rm{ij}}}},\,\forall i = \overline {1,m} \,\,và\,\,\forall j = \overline {1,n} \)

Phép cộng: Ta cộng hai ma trận cùng cấp bằng cách cộng các phần tử tương ứng.

\({A_{mxn}} + {B_{mxn}} = {({a_{{\rm{ij}}}} + {b_{{\rm{ij}}}})_{mxn}}\)

\(\left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\ - 2\,\,\,\,\,4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{l} - 3\,\,\,\,\,\,2\\ 1\,\,\,\,\,\, - 4\\ 2\,\,\,\,\, - 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right)\)

Phép cộng có các tính chất sau:

(i) A + B = D + A

(ii) (A + B) + C = A + (B + C)

(iii) A + O = O + A với O = (0)_mxn

(iv) A + (-A) = O với -A = (-a_ij)_mxn

Phép nhân một số thực với một ma trận: Ta nhân một số thực với một ma trận bằng cách nhân so ấy với từng phần tử của ma trận.

\(\alpha {({{\rm{a}}_{{\rm{ij}}}})_{mxn}} = {(\alpha {{\rm{a}}_{{\rm{ij}}}})_{mxn}}\)

Ví dụ: \( - 2\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,0\\ - 3\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 6\,\,\,\,\, - 8\,\,\,\,\, - 4 \end{array} \right)\)

Phép nhân một số với một ma trận có các tính chất sau:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,\,\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B\\ (ii)\,\,(\alpha + \beta )A = \alpha A + \beta B\\ (iii)\,\,(\alpha \beta )A = \alpha (\beta A)\\ (iv)\,\,1.A = A \end{array}\)

Chuyến vị: Chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là A' (hay A'), là ma trận có được từ A bằng cách đổi dòng thành cột.

\(B = A' \Leftrightarrow {b_{{\rm{ij}}}} = {a_{{\rm{ij}}}},\forall i,j\)

Ví dụ: \(\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,3\\ 2\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)' = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\\ - 2\,\,\,\,\,\,\,0\\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)\)

Ta có một số tính chất sau đây:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,(A') = A\\ (ii)\,\,(A + B)' = A' + B'\\ (iii)\,(\alpha A)' = \alpha A' \end{array}\)

Phép nhân ma trận với ma trận: Cho hai ma trận A_mxn, B_nxp (số cột của A bằng số dòng của B). Ta định nghĩa tích của A và B là ma trận C_mxp xác định bởi \({c_{{\rm{ij}}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}} \)

(c_ij là tích vô hướng dòng i của A với cột j của B)

Ví dụ: \(\left( \begin{array}{l} 2\,\,\, - 2\,\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,\,\,3\,\,\, - 4 \end{array} \right).\left( \begin{array}{l} 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,2\\ - 2\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,3\,\\ - 3\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ 6\,\,\,\,\,\,\,11\,\,\,\, - 9 \end{array} \right)\)

c₂₁= (1, 3,-4).(0;-2;-3) = 1.0 + 3(-2) + (-4).(-3) = 6

Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất sau:

(i) Nói chung AB \(\ne \) BA

(ii) (AB)C = A(BC)

(iii) A(B + C) = AB + AC

(iv) (A + B)C = AC + BC (giả sử A, B cùng cỡ và AC tồn tại)

(v) x.y = x'y với x,y \( \in \) Rⁿ

(vi) \({I_n}{A_{n\,x\,k}} = A,{A_{m\,x\,n\,}}{I_n} = A\) với I_n là ma trận đơn vị cấp n

(vii) (AB)' = B'A'

Ví dụ: 

\(\left( \begin{array}{l} 1\\ - 2\\ 3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 2\\ 4\\ - 1 \end{array} \right)= (1\,\, - 2\,\,3)\left( \begin{array}{l} 2\\ 4\\ - 1 \end{array} \right)\)

\( = (1\,\, - 2\,\,3).(2\,\,\,4\,\, - 1) = - 9\)

Ví dụ: Với \({A_{2x3}} = \left( \begin{array}{l} - 2\,\,\,\,\,\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right),{B_{3x1}} = \left( \begin{array}{l} - 1\\ 5\\ 4 \end{array} \right)\)thì AB xác định nhưng BA không xác định.

Ví dụ: Giả sử lượng cá, thịt heo và trái cây (tính bằng kg) của một khách hàng mua ở siêu thị cho bởi vectơ x = (3,2,5). Giả sử giá tương ứng (tính bằng 10.000 đồng/kg) cho bởi vectơ y = (2,5,1). Cho biết ý nghĩa của x'y.

Giải:

Ta có: x'y = x.y = (3,2,5).(2,5,1) = 3 x 2 + 2 x 5 + 5 x 1 = 21

Vậy x'y (21 x 10.000 đồng/kg) là số tiền mà khách hàng phải trả cho ba mặt hàng nói trên.

Ví dụ: Một công ty thương mại có hai cửa hàng bán lẻ I và II, bán 3 mặt hàng: quạt điện, tủ lạnh, tivi. Lượng hàng bán được trong ngày của hai cửa hàng cho bởi 2 dòng của ma trận sau

\(A = \left( \begin{array}{l} 3\,\,\,\,1\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,0\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)

Giả sử giá các mặt hàng tương ứng (tính bằng 100.000 đồng) tại hai cửa hàng cho bởi

Cho biết ý nghĩa của các phần tử của AB.

Giải:

Ta có: \(AB = \left( \begin{array}{l} 3\,\,\,\,1\,\,\,\,0\\ 1\,\,\,\,0\,\,\,\,2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \,\,1\\ 20\\ 25 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 23\\ 51 \end{array} \right)\)

Vậy các phần tử của AB là tiền bán được trong ngày của từng cửa hàng (trong ngày, cửa hàng I bán được 23 x 100.000 đồng và cửa hàng II bán được 51 x 100.000 đồng).

Ví dụ: Giả sử giá bán (đơn vị là 10.000 đồng/kg) của chuối, bưởi và xoài vào các ngày 1/1 và 1/7 lần lượt cho bởi 2 cột của ma trận sau

\(P = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1,1\\ 2\,\,\,\,1,9\\ 3\,\,\,\,3,2 \end{array} \right)\)

Giả sử lượng hàng tương ứng mua vào 2 ngày nói trên cho bởi cột của ma trận sau đây

\(Q = \left( \begin{array}{l} 4\,\,\,\,\,3\\ 2\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,4 \end{array} \right)\)

 

Cho biết ý nghĩa của phần tử Q'P.

Giải:

Ta có: \(V = Q'P = \left( \begin{array}{l} 4\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1,1\\ 2\,\,\,\,\,1,9\\ 3\,\,\,\,\,3,2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 17\,\,\,\,\,17,8\\ 21\,\,\,\,\,21,8 \end{array} \right)\)

v₁₁ = 17 là tiền mua hàng ngày 1/1 tính theo giá ngày 1/1

v₁₂ = 17,8 là tiền mua hàng ngày 1/1 tính theo giá ngày 1/7

v₂₁ = 21 là tiền mua hàng ngày 1/7 tính theo giá ngày 1/1

v₂₂ = 21,8 là tiền mua hàng ngày 1/7 tính theo giá ngày 1/7

Trong ví dụ trên, lấy ngày 1/1 làm ngày cơ sở. Ta có v₁₁, v₁₂ lần lượt là giá của rỗ hàng hóa cơ sở (mua tại ngày cơ sở 1/1) tính tại ngày cơ sở 1/1 và ngày 1/7. Khi đó: cho ta biết giá rỗ hàng cơ sở (mua tại ngày 1/1) tăng khoảng 4,7% tính từ ngày cơ sở 1/1 đến ngày đang xét 1/7. Khi đó \(\frac{{{v_{12}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{17,8}}{{17}} \simeq 1,047\) cho ta biết giá rỗ hàng cơ sở (mua hàng ngày 1/1) tăng khoảng 4,7% tính từ ngày cơ sở 1/1 đến ngày đang xét 1/7. Con số này được gọi là chỉ số giá Laspeyres.

Bây giờ, lấy ngày đang xét 1/7 làm ngày cơ sở. Ta có v₂₁, v₂₂ lần lượt là giá của rỗ hàng hóa cơ sở (mua tại ngày cơ sở 1/7) tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở 1/7. Con số này được gọi là chỉ sổ giá Paasche.