Bài 2: Định thức

1. Định thức của ma trận vuông cấp 1

2. Phần bù đại số

3. Định thức của ma trận vuông cấp n $\ge 2$

Với ma trận $A={\left(\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{j}\right)}_{nxm},(n=2,3,...)$ta định nghĩa định thức của A như sau: 

$detA=\left|A\right|=a_{\mathrm{i}\mathrm{j}}{A}_{i1}+a_{\mathrm{i}2}{A}_{i2}+...+a_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{A}_{in},i=1,...n$(khai triển theo dòng thứ i)

hoặc 

$\left|A\right|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj},j=1,...n$ (khai triển theo cột thứ j)

Ví dụ: Tính $\left|A\right|=\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}\\ a_{21}{a}_{22}\end{array}\right|$ bằng cách khai triển theo dòng hoặc cột.

Giải

Ta có 

Khai triển theo dòng 1: 

$\left|A\right|=a_{11}\left|(a_{22})\right|-a_{12}\left|(a_{21})\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Khai triển theo dòng 2:

$\left|A\right|=-a_{21}\left|(a_{12})\right|+a_{22}\left|(a_{11})\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Khai trển theo cột 1:

$\left|A\right|=a_{11}\left|(a_{22})\right|-a_{21}\left|(a_{12})\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Khai triển theo cột 2:

$\left|A\right|=-a_{12}\left|(a_{21})\right|+a_{22}\left|(a_{11})\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Tóm lại ta có: 

$\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}\\ a_{21}{a}_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Ví dụ: Tính $\left|\begin{array}{l}2-5\\ 31\end{array}\right|=2.1-3.(-5)=17$

Ví dụ: Tính $\left|A\right|=\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}{a}_{13}\\ a_{21}{a}_{22}{a}_{23}\\ a_{31}{a}_{31}{a}_{33}\end{array}\right|$ bằng cách khai triển theo dòng 2

Ta có: 

$\left|A\right|=a_{21}{A}_{21}+a_{22}{A}_{22}+a_{23}{A}_{23}$

$=-a_{21}\left|\begin{array}{l}{a}_{12}{a}_{13}\\ a_{32}{a}_{33}\end{array}\right|+a_{22}\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{13}\\ a_{31}{a}_{33}\end{array}\right|-a_{23}\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}\\ a_{31}{a}_{32}\end{array}\right|$

$=(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{21}{a}_{32}{a}_{11})+(a_{13}{a}_{22}{a}_{31}+a_{21}{a}_{12}{a}_{33}+a_{11}{a}_{23}{a}_{32})$

Người ta có thể dùng quy tắc Sarrus để biểu diễn kết quả trên như sau: 

= tổng các tính số từ trái sang phải - tổng tích tích số từ phải sang trái.

Ví dụ: Tính định thức của $A=\left(\begin{array}{l}1-25\\ -301\\ 243\end{array}\right)$

Áp dụng quy tắc Sarrus ta có:

Nên $\left|A\right|=(0+(-4)+(-60)-(0+4+18)=-86$

Ví dụ: Tính định thức của ma trận

$A=\left(\begin{array}{l}1003\\ 2-11-2\\ 1310\\ 24-21\end{array}\right)$

Giải

Khai triển theo dòng 1 ta có:

$\left|A\right|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}+a_{14}{A}_{14}$

$=1\left|\begin{array}{l}-11-2\\ 310\\ 4-21\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{l}2-11\\ 131\\ 24-2\end{array}\right|$

$=\left[(-1+0+12)-(-8+3+0)\right]-3\left[(-12-2+4)-(6+2+8)\right]=94$

Nhận xét:

• Giá trị tuyệt đối của định thức cấp một $\left|(a)\right|$ cho ta độn dài của vecto một chiều a.

Ví dụ: $\left|(-2)\right|=2$

• Giá trị tuyệt đối của định thức cấp 2 $2\left|\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}\\ a_{21}{a}_{22}\end{array}\right|$ cho ta diện tích của hình bình hành với hai cạnh là các vecto $(a_{11};a_{12});(a_{21};a_{22})$

Ví dụ: Tính diện tích tam giác OAB với A(1;2); B(3;-2)

Giải

Ta có $S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}\Vert \begin{array}{l}21\\ 42\end{array}\Vert =0$ vì $\overrightarrow{OA}$ cùng phương với $\overrightarrow{OB}$, nghĩa là hai vecto $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ phụ thuộc tuyến tính.